THÉORIE DES IMAGES ÉLECTRIQUES ET DE L'INVERSION ÉLECTRIQUE

155. Nous avons déjà montré que, quand une sphère conductrice est soumise à l'influence de charges électriques distribuées d'une manière déterminée, la distribution de l'électricité à la surface de cette sphère peut être déterminée par la méthode desharmoniquessphériques.

À cet eflet, on développe le potentiel du système agissant en une série d'harmoniques solides de degré positif avant pour origine le centre de la sphère, et l’on trouve alors une série correspondante d'harmoniques solides de degré négatif, qui représente le potentiel dû à Félectrisation de la sphère.

Au moven de cette puissante méthode d'anal:se, Poisson réussit à déterminer l'électrisation d'une sphère soumise à l'influence d'un système électrique donné, et résolut mème le problème plus difficile de la distribution sur deux sphères conductrices en présence l'une de l'autre. Ces études ont été poursuivies en détail par Plana et par d'autres, qui ont confirmé l'exactitude des résultats de Poisson.

Si l'on applique cette méthode au cas le plus élémentaire, celui d'une sphère soumise à l'action d'un point électrisé unique, il faut développer le potentiel dû à la charge de ce point en une série d'harmoniques solides, puis déterminer une deuxième série d'harmoniques solides qui représentent le potentiel extérieur dû à lélectrisation de la sphère.

I ne semble pas qu'aucun des mathématiciens nommés ci-dessus ait remarqué que cette seconde série représente le potentiel dû à un point électrisé imaginaire : ce point n'a pas d'existence physique. en tant que point électrisé, mais il peut être appelé une image élec rique, car l'action de la surface sur les points extérieurs est la mème que produirait be point électrisé imaginaire si lon enlevait la surface sphérique.

Cette découverte paraît avoir été réservée à Sir William Thomson qui en à fait sortir une méthode d’une grande puissance pour la solu- Lion des problèmes électriques, susceptible d'être présentée sous une forme géométrique élémentaire.

Dans les travaux originaux, publiés dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal de 1848, il emploie les expressions de la théorie ordinaire des attractions à distance, et ne se sert pas de la méthode des potentiels ni des théorèmes généraux du Chapitre IV, qui cependant ont probablement conduit à ces découvertes. Au lieu de suivre la marche de l’auteur, je ferai couramment usage de la notion du potentiel et des surfaces équipotentielles, toutes les fois que l’exposition pourra être rendue plus claire par ce procédé.

Théorie des images électriques.

156. Soient À et B (fig. 7) deux points dans un milieu diélectrique uniforme s'étendant à l'infini : soient e, et e, les charges respectives de À et B; soit P un point de l’espace dont les distances à À et à B sont 7, et r,. La valeur du potentiel en P sera

(1) V= Tr

Les surfaces équipotentielles dues à cette distribution électrique

sont représentées à la P[. Z (p.187) quand les charges e, et e, sont de

même signe, à la PL. IJ (p.189) quand elles sont de signes contraires. Considérons maintenant la surface pour laquelle V-=0, qui est la seule surface sphérique du système. Si les charges e, et e, sont de même signe, cette surface est toùt entière à l'infini; si elles sont de signes contraires, il y a, à distance finie, un plan ou une surface sphérique où le potentiel est égal à zéro.

L'équation de cette surface est

et son centre est en un point C situé sur le prolongement de AB, et

tel que AG ei, BC e2? le rayon de cette sphère est AB ei — ei

Les deux points À et B sont deux points réciproques par rapport à cette sphère, c'est-à-dire qu'ils sont situés sur le même rayon, et que le rayon est une moyenne proportionnelle entre leurs distances au centre de la sphère.

Puisque cette surface sphérique est au potentiel zéro, rien ne sera changé dans le potentiel d'aucun point intérieur ou extérieur, si nous supposons celle surface formée d'une couche mince de métal et mise à la terre; les actions électriques resteront partout celles qui sont dues aux deux points électrisés A et B.

Si maintenant, laissant l'enveloppe métallique reliée à la terre, nous enlevons le point B, le potentiel deviendra zéro pour tous les points intéricurs à la sphère, mais il restera le mème pour tous les points extérieurs. En effet la surface de la sphère reste au même potentiel que précédemment, et aucun changement n’a été apporté dans les charges électriques extérieures à cette sphère.

Donc, si un point électrisé À est placé à l'extérieur d'une sphère conductrice maintenue au potentiel zéro, l'action électrique sur tous les points extérieurs à Ha sphère est la même qui serait due au point A et à un autre point B intérieur à la sphère, que l'on peut appeler l'image électrique du point À.

157. Définition d'une image électrique. — Une image électrique est un point ou un système de points électrisés, situé d'un côté d'une surface, et produisant de l'autre côté de cette surface une action électrique identique à celle qui est due à la charge effective de cette surface.

En Optique, on appelle image virtuelle un point ou un système de points situés d'un côté d'un miroir ou d'une lentille, qui, s'il existait réellement, émettrait le système de ravons qui existent effectivement de l'autre côté du miroir ou de la lentille.

Les images électriques correspondent aux images virtuelles de l'Optique, en ce qu'elles se rapportent à l'espace situé au delà de la surface. Mais elles ne leur correspondent pas en position, ni même dans le rôle simplement approximatif des foyers optiques.

IH n'y a point d'images électriques réelles, c'est-à-dire de points

électrisés imaginaires qui produiraient, dans la région située du côté de la surface électrisée où ils sont eux-mêmes, un effet équivalent à celui de cette surface électrisée.

Car si, dans une certairte région de l'espace, le potentiel est le même qui serait dû à une certaine charge électrique située dans cette région, il ne peut être dû qu'à cette charge mème existant en réalité. En fait, la charge en un point peut se déduire du potentiel aux environs de ce point, au moyen de l'équation de Poisson.

Soicnt

a le rayon de la sphère; f la distance du point électrisé À au centre C; e la charge de ce point.

Alors l'image du point est située en B, sur le mème rayon de la

—:; la charge de l'image est — e —.

Nous avons montré que cette image produit, de l’autre côté de la surface, le même effet que la charge effective de la surface. Nous allons maintenant déterminer la densité superficielle de cette charge, en un

sphère, et à une distance

.. Fic Led =m° e

point quelconque P de la surface sphérique : à cet effet, nous ferons usage du théorème de Coulomb ($ 80), que si R est la force résultante et 5 la densité superficielle à la surface d'un conducteur,

R étant mesuré en s'éloignant de la surface.

Nous pouvons considérer R comme la résultante de deux forces, , e ) . a ï! .

une répulsion — "; agissant suivant AP, etuncattraction e f 3 sui- AP * PB vant PB.

Décomposant ces forces dans les directions de AC et CP, nous

trouvons :

Pour les composantes de la répulsion,

L e A L PE De ef : — suivant AC, ea - ; suivant CP;