OR E
sphère : leurs charges seront
re fa
A l'extérieur de la sphère, le potentiel dû à la distribution superfciclle sera le même qui serait produit par le système des images B,, B:. .... Ce système est appelé, par suite, l'image électrique du système À,, Àe, ....
Si, au lieu d'être au potentiel zéro, la sphère est au potentiel V, il faut encore superposer une couche répandue sur sa surface extérieure
avec la densité superficielle uniforme
\ TS = —— ira L'effet de cette couche sur tous les points extérieurs à la sphère sera égal à celui d'une quantité d'électricité V a placée au centre: en tous les points intérieurs, le potentiel sera simplement augmenté de V. La charge totale de la sphère due au système de points agissants extérieurs À, À,, ..., est . . u «a (9) E==Na—e -— —e;-—--...:
Ji Ja d'où l'on peut tirer soit la charge E, soit le potentiel V, suivant que l'un ou l'autre est donné.
Si le système électrisé est intérieur à la surface sphérique, la charge
induite sur la surface est égale et de signe contraire à la charge inductrice, ainsi que nous l'avons démontré pour toute surface fermée soumise à l'action de points intérieurs.
160 (!}. Un point électrisé e placé à une distance / du centre plus grande que le rayon a de la sphère, et la charge de la surface sphérique duc tant à l'influence du point électrisé qu’à la charge propre de la sphère, exercent l’un sur l'autre une action mutuelle dans laquelle l'énergie est
Le I e? ai 10 Miz = 7 ——, (Go) f 2 f(J=--a?) où Vest le potentiel et E la charge de la sphère.
La répulsion entre le point électrisé et la sphère est donc, d’après le $ 92,
(it) F - ea \ — ef - # E -e — Of — a) .
7 € fi (f'= — a)? RE ” y: PTE Fe
Par suite la force qui s'exerce entre le point et la sphère est toujours une attraction dans les cas suivants :
1° Quand la sphère n'est pas isolée ;
(') Cette discussion sera peut-être plus facile à comprendre, si l'on considère le problème comme un exemple à l'appui du n° 86. Supposons que ce qu'on appelle point electrisé soit en réalité un petit conducteur sphérique, de rayon b et de potentiel #. On a ainsi un cas particulier du problème des deux sphères, dont une solution à déjà été donnée au X 116 et dont une autre sera donnée au $ 173. Dans le cas actuel, Le rayon db est si petit que l'on peut regarder la charge du petit conducteur comme distribuée uniformément sur sa surface, ct l'on peut négliger les images électriques du petil conducteur, sauf la première,
On à ainsi
P pl” T— a f a E :- 0 - 6 f ea e / Ja b
L'énergie du système est donc ($ 85)
EE? Ee. | | a up al jo
Au moyen de l'équation précédente, on peut aussi exprimer l'énergie en } fonction des potentiels: ce qui fait, à la mème approximation,
av’, 1 b ab? \ a ab € F 2 | F—&) f Êe
2° Quand elle n'a pas de charge;
3° Quand le point électrisé est très voisin de la surf:
2° Quand le point électrise est tres voisin de la suriace.
Pour que la force soit répulsive, il faut que le potentiel de la sphère
soit positif et plus grand que Sr TTC et que la sphère ait une
. . taf? - a?) charge de mème signe que e et plus grande que e OS 47° s ‘ (4 - €l= }"
Au point d'équilibre, l'équilibre est instable, la force devenant une attraction si les corps sont rapprochés, une répulsion s'ils sont plus éloignés.
Si le point électrisé est intérieur à la surface sphérique, la force qui agit sur Ini va toujours en s'éloignant du centre de la sphère, et elle a
pour valeur «? auf
3 2 2° Cas — J°1
La densité superficielle au point de la sphère le plus rapproché du point électrisé, quand ce point est extérieur à la sphère, est
| Ù f- «4. l TU LU —e) ed Ga Na et, 1 --. UE + . Li.
[T4 Cf— a rs JU TEL
La densité au point de la sphère le plus éloigné du point électrisé
I LE ROUTE TRE is | if. an °
Lorsque la charge E de la sphère est comprise entre
est
, I ne dif— ur (13) 7 - 71 0 CS TS
dif 4) «t(3f 2)
. 7 € TT ss JU ar AU l'électrisation est négative auprès du point clectrisé, et positive sur la D Ï ) partie opposée. IF v a une ligne circulaire qui sépare les parties de la surface clectrisées positivement et négativement, et cette ligne est une hyne d'équilibre.
Si
(14) L--ea | re =
la surface équipotentielle qui coupe la sphère suivant la ligne d'équihbre est une sphère dont le centre est au point électrisé, et dont le ravon est égal à ÿ/?-— us.
Les lignes de force et les surfaces équipotentielles correspondant à
ce cas sont donuées à la PL JF.
