DISCONTINUITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Nous pouvons acquérir la notion de continuité en considérant une particule de matière dont l’état est continu dans le temps et dans l’espace. Une telle particule ne peut passer d'une position à une autre sans décrire une ligne continue dans l'espace, et les coordonnées qui fixent sa position sont des fonctions continues du temps.

L'équation, dite de continuité, que l’on donne dans les Traités d'Hydrodynamique, exprime ce fait que la matière ne peut pénétrer dans un élément de volume ou en sortir sans traverser les surfaces limites de l’élément.

On dit qu’une quantité est une fonction continue de sa variable quand, pour une variation continue de la variable, la quantité ellemème varie d'une manière continue.

Ainsi, soit u une fonction de x qui, pour x variant d'une manière continue de ær, à Z,, varie d’une manière continue de &, à &,, mais qui, pour æ variant de r, à x, passe de w, à u,, u', étant différent de #, : on dit que, dans sa variation par rapport à x, w éprouve une discontinuité pour [a valeur de x — x,; car elle passe brusquement de u, à u, tandis que x passe par x, d’une variation continue.

Si nous considérons le coefficient différentiel de « par rapport à x, pour la valeur x — x,, comme étant la limite de la fraction

Us — ao D Ta — T9

quand on fait tendre >, et x, indéfiniment vers æ,, et si x, et, restent toujours de part et d'autre de r;, la valeur limite du numérateur sera u, — u,; et celle du dénominateur sera zéro. Si uw est une quantité physiquement continue, la discontinuité ne peut exister que relativement à la variable particulière 7, et nous devons admettre, dans ce cas, que pour x = à! le coefficient différentiel est infini. Si & n'est pas physiquement continu, on ne peut pas du tout le différentier.

On peut, dans les questions de Physique, mettre de côté l'idée de discontinuité sans altérer sensiblement les conditions du problème. Sir, est un peu plus petit, et x, un peu plus grand que x,, uw, sera très voisin de &,, et w, de u,. Nous pouvons alors supposer que « varie d'une manière arbitraire, mais continue, de &, à &w, entre les limites ro et .r,. Dans beaucoup de questions de Physique, on peut commencer par faire une hypothèse de cette nature, puis étudier ce que devient le résultat quand les valeurs de x, et r, s'approchent de x, et finissent par l’atteindre. Si le résultat est indépendant du mode arbitraire de variation attribué à & entre ces limites, on peut admettre qu'il en est encore de mème quand « est discontinu.

Discontinuité d'une fonction de plusieurs variables.

8. Si l’on suppose constantes les valeurs de toutes les variables, sauf +, les discontinuités de la fonction se présenteront pour des valeurs particulières de x, liées aux valeurs des autres variables par une équation que l’on peut écrire

La discontinuité se présente quand + — 0. Quand + est positif, la fonction est de la forme F,(zx, y, 5, ...). Quand + est négatif, elle est de la forme F,(x, y,5,...),et il n’y a pas de relation nécessaire entre les formes F, et F..

Pour exprimer cette discontinuité sous une forme mathématique, exprimons une des variables, x par exemple, comme une fonction de ® et des autres variables; exprimons aussi F, et F, comme fonctions de P,.Y:5, .... On pourra alors représenter la forme générale de la fonction par toute formule qui se réduira sensiblement à F, pour + positif, et à F, pour + négatif. Telle sera la formule

F — FitentF 7 1+en

Tant que 7 est une quantité finie, si grande soit-elle, F est une fonction continue; mais si nous faisons À infini, F devient égal à F, pour & positif et à F, pour + négatif.

Discontinuité des dérivées d'une fonction continue.

Les dérivées premières d’une fonction continue peuvent être discontinues. Soit pP—(r, y, 3, .….)=0

la relation qui existe entre les valeurs des variables pour lesquelles se présente la discontinuité des dérivées; et soient F, et F, exprimés en fonction de + et de ñz —1 autres variables, 7, 3, ... par exemple. Ainsi, quand ® est négatif, on doit prendre F,; quand ® est positif, on doit prendre F,, et F,—F, quand & est égal à o, puisque F luimême est continu.

Donc, quand + est égal à o, les dérivées rs et FT peuvent être dif-

férentes,mais les dérivées prises par rapport à toute autre variable, 0F oF . x A . +

telle que FT et PA doivent être les mêmes. La discontinuité est donc limitée à la dérivée par rapport à +, toutes les autres dérivées étant continues.