FONCTIONS PÉRIODIQUES ET FONCTIONS MULTIFORMES
Fonctions périodiques et fonctions multiformes.
9. Si & est une fonction de x, telle que sa valeur soit la même pour T,T+a,...,z+na,et pour toutes les valeurs de x différant entre elles de a, w est appelé une fonction périodique de x, et a sa période.
Si l’on considère .r comme fonction de w, à une valeur donnée de u correspond un nombre infini de valeurs de x différant entre elles de a. On dit dans ce cas que zx est une fonction multiforme de u, et a est appelé sa constante cyclique.
. v: . dr . Le coefficient différentiel == n'a qu'un nombre fini de valeurs corres-
pondant à une valeur donnée de ue.
Relation entre les quantites physiques et les directions dans l'espace.
10. Pour distinguer les différentes espèces de quantités physiques, il est très important de connaître quelle est leur relation avec la direction des axes coordonnés dont on se sert d'habitude pour définir la position des objets. L'introduction des axes coordonnés en Géométrie, due à Descartes, a été un des plus grands progrès faits dans les Mathématiques, car elle a ramené les méthodes de la Géométrie à des calculs portant sur des quantités numériques. On fait dépendre la position d'un point de la longueur de trois lignes toujours tracées dans des directions déterminées, et, de mème, on considère la ligne qui joint deux points comine la résultante de trois autres lignes.
Mais souvent en Physique, pour raisonner, et non plus pour calculer, il est désirable d'éviter l'introduction explicite des coordonnées cartésiennes, et ilest avantas tux de fixer son attention sur un point de l’espace pris en lui-mème, et non sur ses trois coordonnées, sur la grandeur et la direction d’une force, non sur ses trois composantes. Cette manière d'envisager les quantités géométriques et physiques est plus naturelle que l'autre, et se présente d’abord à l'esprit; néanmoins les idées qui en découlent ne reçurent pas leur entier développement, jusqu'au jour où Iamilton fit un deuxième grand pas dans l'étude de l’espace, par l'invention de son calcul des Quaternions.
Comme aujourd’hui les méthodes de Descartes sont encore les plus familières à ceux qui étudient les sciences et qu'elles sont en réalité les plus avantageuses pour le calcul, nous exprimerons tous nos résultats sous la forme cartésienne; mais je suis convaincu que l'introduction des idées de Hamilton, prises en dehors des opérations et des méthodes des quaternions, nous seront d'une grande uulité pour l'étude de toutes les parties de notre sujet, et en particulier de l'Élec-
trodvnamique, où nous avons à considérer un certain nombre de quantités physiques dont les relations peuvent s'exprimer bien plus simplement par quelques mots du langage de Hamilton que par les équalions ordinaires.
41. Un des traits les plus importants de la méthode de Hamilton est la division des quantités en scalaires et vecteurs (1).
Une quantité scalaire est susceptible d’être entièrement définie par une seule donnée numérique. Sa valeur numérique ne dépend en aucune facon de la direction attribuée aux axes coordonnés.
Un vecteur ou quantité avant une direction exige, pour être défini, trois données numériques, ce dont on peut se rendre compte le plus aisément en les considérant comme se rapportant à la direction des axes coordonnés.
Les quantités scalaires n’impliquent pas l’idée de direction. Le volume d’une figure géométrique, la masse ou l'énergie d’un corps matériel, la pression hydrostatique en un point d’un fluide, le potentiel en un point de l'espace, sont des exemples de quantités scalaires.
Un vecteur a une direction aussi bien qu’une grandeur; elle est telle que le renversement de sa direction entraîne le changement de son signe. Le déplacement d’un point, figuré par une ligne droite menée de sa position initiale à sa position finale, peut être pris comme type d’une quantité vectorielle : de là vient le nom mème de vecteur.
La vitesse d’un corps, sa quantité de mouvement, la force qui agit sur lui, l'intensité d'un courant électrique, l’aimantation d’une molécule de fer, sont des exemples de quantités dirigées.
11 y a des quantités physiques d'une autre nature, qui dépendent de certaines directions dans l’espace et qui ne sont pas des vecteurs. Telles sont, par exemple, les tensions et déformations des corps solides, quelques-unes des propriétés des corps que l’on considère dans la théorie de l’élasticité, de la double réfraction. Des quantités de celle espèce exigent, pour être définies, neuf données numériques. Elles s'expriment, dans le langage des quaternions, par des fonctions linéaires et vectorielles d’un vecteur.
L'addition d'une quantité vectorielle à une autre de même espèce s'effectue d’après la règle donnée en Statique pour la composition des forces. En fait, la démonstration que donne Poisson du parallélogramme des forces s'applique à la composition de toutes les quantités, telles que le changement de leur signe soit équivalent à leur retournement bout pour bout.
(‘) [Noir PAppendice I, qui reaferme les princip:s du calcul des Quaternions.]
