SYSTÈME DE QUATRE SPHÈRES ORTHOGONALES, ETC

par le point O et coupe orthogonalement trois des sphères primitives B, C et D dans le cas présent; menons six sphères (ab), (ac), (ad), (bc), (bd), (cd) passant chacune par le point O et par le cercle d'intersection de deux des sphères primitives.

Les trois sphères B,, C,, D, se coupent en un second point différent de O. Soit A’ ce point, et soient B', C' et D’ les intersections de C;, D, et A,, de D,, A, et B,, et de À;, B, et CG. Deux quelconques de ces sphères A,, B, coupent l'une des six sphères (cd) en un point (a'b'); il y a donc six de ces points. |

Une quelconque des sphères À; coupe trois des six sphères (ab), (ac), (ad) en un point a’. Il y a quatre points de cette espèce. Enfin, les six sphères (ab), (ac), (ad), (bc), (ëd), (cd) se coupent en un point S.

Si maintenant nous transformons le système par rapport à une sphère de rayon R et de centre O, les quatre sphères À, B, C, D se transforment en sphères, et les dix autres sphères en plans. Des points d’intersection des quatre premières, À’, B', C' et D’, deviennent les centres des sphères : les autres correspondent aux onze autres points du paragraphe précédent, et ces quinze points forment l’image de O dans le système des quatre sphères.

Au point À’, image de O dans la sphère À, il faut placer une charge

égale à l’image de O, c'est-à-dire — = « étant le rayon de la sphère À

et a la distance de son centre au point O. De même, il faut placer les charges voulues en B', C' et D’.

Les charges de chacun des onze points restants peuvent se déduire des expressions trouvées au paragraphe précédent, en substituant a’, B',y' et 0’ à x, $, y et à, et multipliant le résultat obtenu pour chaque point par la distance de ce point au point O, en employant la notation suivante :

LE 8 ! — Y Nr Ô ai— at? P=— y Gr TT 72 = n°

[Les cas étudiés aux $$ 169 et 170 peuvent être traités comme il suit : : Prenons trois plans coordonnés rectangulaires, et plaçons des nn

e. e . LE +e, en chacun des huit points du système | + > ++,

les charges négatives étant placées aux points qui ont une ou trois coordonnées négatives. Il est clair qu'alors les plans coordonnés sont au potentiel zéro. Transformons alors par rapport à un point quelconque, et nous avons le cas de trois sphères se coupant orthogonale-

ment soumises à l'influence d'un point électrisé. Si nous transformons par rapport à un des points électrisés, nous avons la solution pour le cas d'un conducteur ayant la forme de trois sphères de rayons x, Bet+ se coupant orthogonalement, et librement chargé,

Si au système de points électrisés décrit ci-dessus, nous ajoutons son image par rapport à une sphère ayant son centre à l’origine, nous voyons qu'en outre des trois plans coordonnés, la surface de la sphère fait aussi partie de la surface au potentiel zéro].

Deux sphères qui ne se coupent pas.

171. Lorsqu'un espace est limité par deux surfaces sphériques qui ne se coupent pas, les images successives d'un point agissant intérieur à cet espace forment deux séries infinies situées lune et l'autre en dehors de ces sphères : la condition, pour que l'on puisse appliquer la méthode des images électriques, est donc satisfaite.

Deux sphères quelconques qui ne se coupent pas se transforment

en deux sphères concentriques, si lon prend pour centre d'inversion lun ou l'autre des deux points inverses communs aux deux sphères.

Nous commencerons done par le cas de deux surfaces sphériques concentriques non isolées et soumises à l'influence d'un point électrisé placé entre les deux surfaces.

Soient b le ravon de a première, beT celui de la seconde; et soit "= be“ la distance du centre au point agissant.

Toutes les images successives seront sur le mème ravon que le point auissant.

Soient (4 (fig. 14) l'image de P par rapport à la première sphère : P, l'image de Q4 par rapport à la seconde sphère; Q, celle de P, par

DEUX SPHÈRES QUI NE SE COUPENT PAS. 321 rapport à la première, et ainsi de suite; alors

OP,.0Q,= b?, OP,.0Q,-1— btets, OQuv= be-t, OP;,=bes+i®, OQ,= be-lu+im), d’où OP, = betu+ism!, OQ,= be-'u+ism);

et, si l’on représente par P la charge du point P, on a P, = Pes®, Qs= Qertsa+u),

OQ' = betm-u, OP = beu-1®,

OQ, — be*w-u, OP’, — beu-t®,

OQ, — be?sm-u, OP, — beu-—-1s®, Q;,= — Pesu-u, P',= Pe-sw,

Parmi ces images, tous les P sont positifs et tous les Q sont négatifs; tous les P et tous les Q appartiennent à la première sphère, tous les P’ et tous les Q à la seconde sphère.

Les images intérieures à la première sphère forment une série con-

vergente dont la somme est p euU-uU 1] |

em — 1 Telle est donc la quantité d'électricité répandue sur la première sphère, la sphère intérieure. Les images extérieures à la seconde sphère forment une série divergente; mais l'intégrale de surface de chacune de ces images, par rapport à la sphère, est égale à zéro. La charge clectrique sur la sphère extérieure est donc

eu! — ] es — evu-u PET) \

eu — 1]

Si nous substituons à ces expressions leurs valeurs en fonction de OA, OB et OP, nous trouvons