OA.PB

o 1 — 2 a charge de À F OP AG’ OB AP dE 4 ZT — > = g — € charge de B I OP'XE

Si l’on suppose que les rayons des deux sphères deviennent infinis, le cas devient celui d’un point électrisé placé entre deux plans paral- Tr. d’Élect. et de Magn., 1. 21

322 17 PARTIE, CHAP, XI. — THÉORIE DES IMAGES, ETC. lèles À et B. Dans ce cas, les expressions deviennent

PB charge de A = —P 25,

charge de B=

472. Pour passer de ce cas à celui de deux sphères qui ne se coupent pas, commençons par trouver les deux points inverses communs O et ©", par lesquels passent tous les cercles orthogonaux aux deux sphères. Si alors nous transformons le système par rapport à l'un ou l’autre de ces points, les deux sphères deviennent concentriques, comme dans le premier cas.

Si nous prenons pour centre d’inversion le point O de la fig. 15, ce point sera placé dans la fig. 14, quelque part entre les deux sphères.

Or, au $ 174, nous avons traité le cas d'un point électrisé placé

Fig. 15.

CE entre deux conducteurs concentriques maintenus au potentiel zéro. Donc, en transformant ce cas par rapport au point O, nous en tirerons la distribution de l'électricité sur deux conducteurs sphériques extérieurs l’un à l’autre, maintenus au potentiel zéro, et soumis à l'influence d’un point électrisé placé dans le voisinage. On verra au $ 173 comment les résultats ainsi obtenus peuvent servir à trouver la distribution sur deux conducteurs sphériques électrisés et soumis uniquement à leurs influences réciproques.

Le rayon OAPB de la fig. 14, sur lequel se trouvent les images successives, devient dans la ffg. 15 un arc de cercle passant par O et O'; et le rapport de O'P à OP est égal à Ce“, où C est une quantité numérique.

DEUX SPHÈRES QUI NE SE COUPENT PAS. 323 Si nous posons ÿ—] O'P : O'A O'B — EGP’ on à 8—x—w, u+a—0.

Toutes les images de P seront sur l’arc OAPBO'. La position de l’image de P dans la sphère A est Q,, ou

0(Qo) — lo To = 2x — 0;

celle de Q,, dans la sphère B, est P,, où

6(P:) — log OP, — 0+2w.

De même, 0(P,)—0+asm, 0(Q,) = 24 — 0 — 255.

< De même, les images successives de P par rapport à B, A, B,..., étant Q;, P',, Q, ..., 0(Q5)=:23—060, 0(P,)—=60—2%, O(P;,)—0—2sw, 0(Q,) == 28 —0 + 255.

Pour trouver la charge d’une image P,, observons que sa charge dans

le système transformé est GP, P VS Ù

ce qui doit être multiplié par OP, dans la figure primitive. Donc la charge de P, dans la figure bipolaire est

P OPs.0"P S OP.OP

Si nous posons £ — WOP.O'P, et si nous appelons ? le paramètre du point P, nous pouvons écrire

sw]

c'est-à-dire que la charge d'une image est proportionnelle à son paramètre.

Si nous employÿons les coordonnées curvilignes 8 et », en sorte que

+= -TEV—IY A

T+yY—iy+k

324 {"e PARTIE, CHAP. XI. — THÉORIE DES IMAGES, ETC.

en appelant 2 la distance OO”, on aura : ksinh0 : Kksino 7 coshô — cos®” Ÿ coshô — Cos®" xt+ (7 — Acoto)}? = Atcosécte, (x + Acoth6)?+ y? = À? coséc h10.

ri yi— À i+yi+ At cot® — 47 coth0 = — Ta , E — Var (1).

y coshô —coso

Puisque la charge de chaque image est proportionnelle à son paramètre et doit être prise positive ou négative, suivant qu'elle est de la forme P ou de la forme Q, nous trouvons

Pycosh8 — coso

po VONT ST,

Wcosh(0 — 25m) — cos®

Pycoshô — coso

ycosh(23 — 0+2sm)—cos®

Nous avons ainsi obtenu les positions et les charges de deux séries infinies d'images. Nous avons maintenant à déterminer la charge totale de la sphère A, en trouvant la somme des images intérieures de

(') Il faut se rappeler que dans ces expressions 2cosh8 -: et e-Ÿ, 2sinh0:-:e—e"t,

et que toutes les autres fonctions de 6 se dérivent de celles-ci d’après les mèmes règles que les fonctions trigonométriques ordinaires correspondantes.

La manière d'appliquer les coordonnées bipolaires à cette question a été indiquée par Thomson, dans le Journal de Liouville de 18,3. ( Voir Tuousox, Reprint of Papers, $ 211 et 212.) Dans le texte, je me suis servi de la méthode du professcur Betti (Yuovo Cimento, vol. XX) pour ce qui est de la méthode analytique; mais j'ai conservé la notion des images électriques, telle qu'elle a été employée par Thomson dans son Mémoire original, Phul. Mag., 1853.