DEUX SPHÈRES QUI NE SE COUPENT PAS

la forme P’ ou de la forme Q. Nous pouvons écrire cette somme

—— ——-- AS I Pycos h9 — cos > a mi Vcosh(b— 25m) — cos?

—- ——————— = I ——* Pÿcosh 5—cosz Ÿ nu RUUUDu<— ?

dd cosh(22—0--25m)—cuse

De mème la charge totale induite sur B est

nr Vcosh(0 -.25®) — COS 4 =1

) ve ; — » eo.

Pycosh4 cose

— = P/cosh0 —— COST N II — æ Veosh(28--0 - 25m) — cos 2 <- 0

173. Nous allons appliquer ces résultats à la détermination des coefficients de capacité et d'induction dans le cas de deux sphères de rayons a et b, dont là distance des centres est c.

Supposons la sphère À au potentiel unité, et la sphère B au potentiel zéro.

Les images successives d'une charge a placée au centre de la sphère A seront celles qui correspondent à la distribution actuelle. Toutes les images seront sur l'axe, entre les pôles et les centres des sphères; et lon observera que des quatre systèmes d'images déterminés au $ 172, le premier et le quatrième seulement existent dans le cas présent.

Si nous posons

: Vai+ bi ci— abc cat aatbt

nous aurons

sinhx = — £, sinh3 — — L°

Les valeurs de 0 et de », au centre de la sphère A, sont

*. , . . « | Si donc, dans les équations, nous substituons à P, a ou — À TP à 9,22 ctà 6, o, en nous souvenant que P lui-mème fait partie de la

charge de À, nous trouvons pour le coefficient de capacité de A

Ja À > sinh(sæ—2)’

326 1° PARTIE, CHAP. XI. — THÉORIE DES IMAGES, ETC. pour le coefficient d’induction de A sur B ou de B sur A

gao= — À > snhsw

De mème, en supposant B au potentiel unité et À au potentiel zéro, nous pouvons déterminer la valeur de g,,; nous trouvons avec notre notation actuelle

$ = go À D sinh(B+sw) $ =0

Pour calculer ces quantités en fonction des rayons a et b des sphères et de la distance c de leurs centres, nous remarquerons que, si

at+ bt+ct— 2b1ct— 2cta— 2atbt,

nous pouvons écrire

. K . K K sinha=— sinhf — bc’ sinho= 2+ at— pt 24 b2— at 2 a— ht cosh x — a+ ab, cosh B — +b'— a > coshw — a, 2ca 2 cb 2 ab

et, nous servant de la relation

sinh(x+ 8) = sinhacoshB-;coshzsinh8, cosh(a+ 8) — coshzxcoshf — sinhzsinh8.

De cette manière, ou bien en calculant directement les images successives par la méthode indiquée dans le Mémoire de Sir W. Thomson, nous trouvons

ab a b?

Ta ET ap Ta Bracxe- ba)" ab a? b1 a3 b3 Tab ET Gear br) cçe— ar bi+abjer— ab ab) ab? a? b3

ba dead) *

171. Nous avons alors les équations suivantes pour déterminer les charges E, et E, des deux sphères, quand elles sont portées aux potentiels V, et V,,

Ec = Va Jaa Tr Ve Zab; Es = Va ab + Vs qbe.