DEUX SPHÈRES QUI NE SE COUPENT PAS
Si nous posons
Jaaqbb— qà = D = D’
Pau= 9voD', Pab=—Qub D’, Po = aa D’, d’où PaaPbb— päs= D, les équations qui déterminent les potentiels en fonction des charges
sont Va = Paa Es + Pab E;,
Vo = Pab Ea + pes Eb, OÙ Paas Pas et Pse Sont les coefficients de potentiel. L'énergie totale du système est, d’après Le $ 85, Q = (Eu Va + Es Vo), — 1(V2 Jau+ 2 Va VbGab + Vi qbb) = 3(E2 Paa +2E, Es Pub + E por).
La répulsion qui s'exerce entre les sphères est donc, d'après les $$S 92 et 93,
F— (va ua +aVaVo LT + Vi ape)
dc de dPaa dPab dpbs —= +62 Le + 2E Es de + E; Je )»
c étant la distance des centres des sphères.
De ces deux expressions de la répulsion, la première, qui est exprimée en fonction des potentiels des sphères et des variations des coefficients de capacité et d’induction, est la plus commode pour les calculs.
Nous devons donc différentier les g par rapport à c. Ces quantités, qui sont exprimées en fonction de #, «, B et w, doivent ètre différentiées, en supposant @ et b constants. Nous avons les équations
Æ = —asinha=bsinh8 — —c sinha.sinhp.
sinhw nous en tirons dk __coshacoshà de sinhw da : sinhz+cosh8 de ÆAsnhw ?
d3 __cosha sin h8 de ksinhs ?
S | Del =
328 1'© PARTIE, CHAP. XI. — THÉORIE DES IMAGES, ETC. d'où il vient
sS=
dqaa __ CoShxcosh$ qua y (sc + beush$)cosh(sm — 2)
de sinhw k csinh?(sm -- 1) $=0 sS= dqar __ coshacosh3 gas scoshsm dc sinhw k 7 am Sinhisw ” S=TtT f= dqss __ coshacosh$ gs Qt (sc—--acoshzæ)cosh(sm — 3) de sinhæ D csinht(3—+ sw) S=0
Sir W. Thomson a calculé la force qui s'exerce entre deux sphères de mème rayon, séparées par une distance moindre que le diamètre de chacune d'elles. Pour des distances plus grandes, il n’est pas nècessaire d'employer plus de deux ou trois images successives.
La série des coefficients différentiels de 4, par rapport à c, s'obtient aisément par différentiation directe.
daa 2atbc 2abic(ac?--260%— a?)
de 7 (et— br} ET: 2 Di acte a—bt— ab TT" dar __ab aib?(3c?— ai— bt)
"de 7 ct c'(ci— a—b)
ab3[(5c— a2— b1)(ct— a — br) — atb:] c'(c?— at— bi+ ab}(e2-- a b— ab} dqbb 2abte. a Be(ocr— ou? -b?) dc (AR (ea— at bep @&- be)
Distribution électrique sur deux sphères en contact.
175. Si nous supposons les deux sphères au potentiel unité, sans influence d'aucun autre point, et si nous transformons le système par rapport au point de contact, nous aurons deux plans parallèles, aux
distances a et du point d’inversion, soumis à l'influence d’une unité d'électricité placée en ce point.
Il y aura une série d'images positives, toutes égales à l'unité, à des distances s (2 =- 5) de l’origine, s étant un nombre entier quelconque
compris entre — æ et + .
Il ÿ aura aussi une série d'images négatives toutes égales à —1, dont les distances à l’origine, comptées dans le sens de a, sont
Luis +3) a a bd
