DISTRIBUTION ÉLECTRIQUE SUR DEUX SPHÈRES EN CONTACT
Si ce système est transformé de nouveau et ramené à la forme de deux sphères en contact, nous avons une série correspondante d'images
négatives, dont les distances au point de contact sont de la forme
s(! +3) "Va °b B. La charge de chaque image (le potentiel des sphères étant égal à l'unité) est numériquement égale à sa distance au point de contact et est toujours négative.
11 y aura aussi une série d'images positives, dont les distances au
point de contact, mesurées dans la direction du centre de À, sont de
| I I ° ats(a +3)
Lorsque s est zéro ou un entier positif, l'image est intérieure à la sphère A.
Si s est un entier négatif, l'image est dans la sphère R.
La charge de chaque image à pour mesure sa distance à l’origine et est toujours positive.
La charge totale de la sphère A est donc
» où s est positif pour la sphère À et négatif pour la sphère
la forme
$— © b $ -: © , u [ «a LN 1!
EL, = Ÿ — y; —e ai 1. s(! 1 a--b s *-:9 à : a 5) $S=I
Chacune de ces séries est infinie, mais, si nous les combinons sous la forme
Ex — S EE ——— a? Ù dé sia-- bifsta-: b1— a| sS=1
la série devient convergente.
De même, pour la charge de la sphère B,
E,— LS ab . ab Y 1, aœds(a- b)—b a--b $
ù ab®
dm S(a+b)|sta—b).-b] $=1
L'expression de E, est évidemment égale à
b b lOa+b "— a f TH,
330 17e PARTIE, CHAP. XI. — THÉORIE DES IMAGES, ETC.
qui est la forme sous laquelle Poisson avait donné ce résultat. On peut aussi montrer (LEGENDRE, 7raité des fonctions elliptiques, t. Il, p. 438) que la série E, qui précède est égale à
y b ) ab ATT (7 a+b’
où ÿy—0,97712, et où W(xr) — logrT(1+r).
On a dressé une table des valeurs de Y. (Voir Œuvres de Gauss, t. [IL, p. 161-162.)
Si l’on désigne un instant —. par +, la différence entre les charges
E, et E, est ab
d — 7x logr(r)T(1— zx) x = La log sinrzxz 28 — 4x ©° a + b
ab Tr b
= —— Ccot——:
Si les sphères sont égales et au potentiel unité, la charge de chacune est
$ = Es a > 25(25 —1)
== a loge2 — 0,69314718a.
Si la sphère A est très petite par rapport à la sphère B, la charge de À est approximativement
ou
La charge de B est à peu près la même que si A était enlevé, ou Es = 6.
La densité moyenne sur chaque sphère s'obtient en divisant la charge
