DISTRIBUTION SUR UN ELLIPSOIDE

par la surface; on obtient ainsi

: Ec Tr = Se ZT = > y #7 4rat 24b E, I ET Tri irb” r2 Se — 6 b

Donc, si une très petite sphère est mise en contact avec une très grande, la densité moyenne sur la petite sphère est égale à celle de la

grande sphère multipliée par = ou 1,644936.

Application de l'inversion electrique au cas d'une calotte sphérique.

176. Un des plus remarquables exemples de la puissance de la méthode des images électriques est l'étude faite par Sir W. Thomson de la distribution sur une calotte sphérique. Les résultats de cette étude furent communiqués sans démonstration à M. Liouville et publiés dans son journal en 1845. Le travail complet est donné dans le /?eprint of Electrical papers de Thomson, art. XV. Je ne sache pas qu'aucun autre mathématicien ait résolu le problème de la distribution sur une portion limitée de surface courbe.

Comme je me propose d'exposer la méthode plutôt que de vérifier les calculs, je ne m’étendrai point sur les considérations géométriques ni sur l'intégration, et je renvoie le lecteur à l’'Ouvrage de Thomson.

Distribution sur un ellipsoide.

177. On démontre, par une méthode bien connue (!}, que l’attraction d'une couche limitée par les surfaces de deux ellipsoïdes semblables, semblablement placés et concentriques, est telle qu'il n’y a point d'attraction résultante sur un point intérieur à la couche. Si nous supposons que l'épaisseur de la couche décroisse indéfiniment, en même temps que sa densité augmente, à la limite nous arrivons à concevoir la densité comme variant proportionnellement à la perpendiculaire abaiïssée du centre sur le plan tangent, et, puisque dans cette distribution superficielle l'attraction sur un point intérieur à l’ellipsoïde est nulle, l'électricité ainsi distribuée sur la surface est en équilibre.

(') Tuousox et Tur, Vatural Philosophy, $ 150 de cet Ouvrage.

Donc la densité, superficielle en un point d'un ellipsoïde non soumis à des influences extérieures, est proportionnelle à la distance du centre au plan tangent.

Distribution sur un disque.

En faisant deux axes de l’ellipsoïde égaux et faisant tendre Île troisième vers zéro, nous arrivons au Cas d’un disque circulaire, et nous avons l'expression de la densité superficielle en un point quelconque P d'un tel disque chargé au potentiel V, sans être soumis à aucune influence intérieure. Si cest la densité superficielle sur une des faces du disque, et si — KPL est une corde menée par le point P,

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