INFLUENCE D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE POINTS ÉLECTRISÉS

CQ, CP et QP étant les lignes droites qui joignent les points C, Q et P.

Il est à remarquer que cette expression ne dépend pas du rayon de la sphère à laquelle est emprunté le segment. Elle s'applique donc sans changement au cas d’un disque plan.

Influence d'un nombre quelconque de points électrisés.

Considérons maintenant la sphère comme divisée en deux parties : le segment sphérique sur lequel nous avons déterminé la distribution, et que nous appellerons la calotte, et le reste de la surface la partie non utilisée, sur laquelle est placé le point agissant Q.

Si un nombre quelconque de points agissants sont répandus sur le reste de la sphère, la charge induite par eux sur un point quelconque de la calotte peut s'obtenir en additionnant les densités induites par chacun d'eux séparément.

179. Supposons tout le reste de la surface de la sphère couvert d’une charge uniforme de densité : ; la densité en un point quelconque de la calotte s'obtiendra par une simple intégration étendue à la surface ainsi électrisée.

Nous obtiendrons ainsi la solution pour le cas où la calotte est au potentiel zéro, et soumise à l'influence du reste de la sphère couvert d’une couche fixe de densité :

Isolons maintenant tout le système, et mettons-le à l’intérieur d’une pere re de diamètre /, couverte d’une couche fixe d'électricité de densité 5

Il n'y aura point de force résultante à l'intérieur de cette sphère ; la distribution ne sera donc pas changée sur la calotte, mais le potentiel de tous les points intérieurs à cette sphère sera accru d'une quantité V, telle que

V=arp/.

Donc le potentiel deviendra V en tous les points de la calotte. Supposons maintenant que cette sphère soit concentrique à celle dont fait partie la calotte, et que son rayon dépasse celui de cette dernière sphère d'une quantité infiniment petite. Nous avons alors le cas d’une calotte maintenue au potentiel V, et soumise à l'influence du reste de la sphère chargé d’une charge fixe dont la densité superficielle est p + £'.

180. Nous n'avons plus alors qu’à supposer p + p' égal à zéro, et

nous avons le cas d’une calotte maintenue au potentiel V et soustraite à toute influence extérieure.

Soit s la densité en un point donné sur l’une ou l’autre des surfaces du segment, celui-ci étant au potentiel zéro et soumis à l'influence du reste de la sphère chargée à la densité p. Si le segment est maintenu au potentiel V, il faudra augmenter la densité sur l'extérieur du segment de la densité p' de la sphère enveloppante supposée.

Le résultat de cette analyse est que, si f est le diamètre de la sphère, a le rayon du segment, r la distance de P au pôle du segment, la densité superficielle sur la surface intérieure du segment est