THÉORIE DES FONCTIONS CONJUGUÉES A DEUX DIMENSIONS

182. Il n’y a qu’un nombre très restreint de cas véritablement indépendants, pour lesquels ait été résolu le problème de l'équilibre électrique. La méthode des harmoniques sphériques a été appliquée aux conducteurs sphériques; les méthodes des images électriques et de l'inversion sont encore plus puissantes dans les cas où elles peuvent s'appliquer. Mais, à ma connaissance, le cas des surfaces du second degré est le seul où l’on connaisse à la fois les surfaces équipotentielles et les lignes de force, lorsque ces lignes de force ne sont point des courbes planes.

Mais il y a une classe de problèmes très importants dans la théorie de l'équilibre électrique et dans celle de la conduction des courants, où l’on n’a à considérer qu’un espace à deux dimensions.

Par exemple, si dans toute la partie du champ électrique que l’on considère, et au delà encore, les surfaces de tous les conducteurs sont engendrées par le mouvement de lignes droites parallèles à l’axe des :, et si la partie du champ où il cesse d’en être ainsi est si éloignée de la partie considérée que l'on puisse négliger l’action électrique de cette partie éloignée, l'électricité se distribue uniformément tout le long des génératrices; et si nous considérons une partie du champ limitée par deux plans perpendiculaires à l’axe des 3 et distants de l'unité de longueur, le potentiel et la distribution électriques seront des fonctions de x et y seulement.

Soient p dx dy la quantité d'électricité répandue dans un élément ayant dx dy pour base et l'unité pour hauteur, et 5 ds la quantité répandue sur un élément de surface dont la base est l'élément linéaire ds, et dont la hauteur est égale à l'unité.

L'équation de Poisson peut s'écrire

JV PV

der dy? FAITS — 0; ce qui se réduit, s'iln'y a point d'électricité libre, à l'équation de Laplace

BV OV et Ÿ ge —