DÉFINITIONS DES FONCTIONS CONJUGUÉES

Le problème général de l'équilibre électrique peut s'énoncer comme il suit :

Étant donné un espace continu à deux dimensions limité par des courbes fermées C;, C:,..., trouver la forme d’une fonction V telle que, sur ces limites, elle prenne les diverses valeurs V,, V,, ... constantes pour chaque limite; et que dans l'étendue de cet espace V soit fini, . continu, n’ait en chaque point qu’une valeur unique et satisfasse à l'équation de Laplace.

Je ne sache pas que l’on ait donné aucune solution parfaitement générale, mêmeé de la question ainsi limitée; mais la méthode de transformation qui est donnée au $ 190, et peut s'appliquer à ce cas, est bien plus puissante que toute méthode connue pouvant s'appliquer à l’espace à trois dimensions.

La méthode repose sur les propriétés des fonctions conjuguées de deux variables.

Définitions des fonctions conjuguées.

183. On dit que deux quantités 2 et 3 sont des fonctions conjuguées

de ret y, si a+ —18 est une fonction de x + — 1 y. De cette définition, il résulte que

0x 03 0x 03 | cu) de — 0? g do x 034 028 028 (2) Te pt

Donc les deux fonctions satisfont à l'équation de Laplace. On a aussi

0x 93 92 03 92 \? 92? 93° 2 99\2 (3) — — - - LL — . —— .—— — — + — — R2.

Or dy dy 0x or dy or dy Si æ et y sont des coordonnées rectangulaires, si ds, est l’arc in-

tercepté sur la courbe 8 — const. par les courbes x el x + dx, et si ds, est l'arc de x compris entre les courbes 8 et 8 + d3,on a

ds; … ds: I

(4) da dÿ

et les courbes se coupent orthogonalement.

Si nous supposons que le potentiel V=—V,- £a, { étant une certaine constante, V satisfait à l'équation de Laplace, et les courbes (a) sont des courbes équipotentielles. Les courbes (8) sont des lignes de force, et l'intégrale de R prise pour une unité de longueur de base sur

Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 22

une surface cylindrique qui se projette sur le plan des y suivant la courbe AB est égale à Æ(38— 3,1), où B, et 8 sont les valeurs de 8 aux extrémités de la courbe.

S1 l’on trace dans le plan une série de courbes correspondant à une série de valeurs de x en progression arithmétique, et une autre série correspondant à des valeurs de 8 présentant la même différence, ces deux stries de courbes se coupent orthogonalement en tous leurs points de rencontre; et si la différence commune est assez petite, à la limite les éléments en lesquels est divisé le plan seront de petits carrés dont les côtés auront, dans les différentes parties du champ, des directions et des grandeurs différentes, ces grandeurs étant inversement proportionnelles à R.

Si deux ou plusieurs des lignes équipotentielles « sont des courbes fermées comprenant entre elles un espace continu, on peut les prendre pour surface de conducteurs aux potentiels (V,.i Az), (Vo+ K2)..... La quantité d'électricité répandue sur l'élément de ces courbes, qui est compris entre les lignes de force B, et $., est

k ee (B2— PB).

Le nombre des lignes équipotentielles comprises entre deux conducteurs indique donc la différence de leurs potentiels, et le nombre des lignes de force qui partent d’un conducteur indique la quantité d'électricité qui le charge.

Nous allons maintenant établir quelques-uns des principaux théorèmes relatifs aux fonctions conjuguées, et, pour les démontrer, nous nous servirons soit des équations (1), qui contiennent les coefficients différentiels, soit des définitions primitives, où l’on fait usage de symboles imaginaires.

184. Tnéorème Ï. — St x et y’ sont des fonctions conjuguées par rapport à x et y, et si x" et y’ sont d’autres fonctions conjuguées par rapport à x et à y, les fonctions x'-:- x" et y‘ - y” seront aussi conjuguées par rapport à x et y.

En effet, 0x" dy" dx” dy” dx dy dr dy?

d'où dx'+z) dy +7) de dy De même, 0x’ dy ox dy”.

dy dx” dy 0x °