REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION, ETC

dr — 7°) d0(3"-- 7")

0y ir

c'est-à-dire que 2° x" et y'+ y” sont des fonctions conjuguées par rapport à .r et 7.

Représentation graphique d'une fonction qui est la somme de deux fonctions données. |

Soit une fonction (2) de x et de y, représentée graphiquement par une série de courbes tracées dans le plan des x}, chacune des courbes correspondant à une valeur particulière de + prise dans une série de valeurs croissant d’une quantité constante c.

Soit une autre fonction (3) de :r et y, représentée de même par une série de courbes correspondant à des valeurs de $ qui diffèrent de la même quantité constante ©.

Pour représenter de la même manière la fonction (x + 8), il faudra tracer une série de courbes passant par les intersections des deux premières séries : de l'intersection des courbes z et 8 à celle des courbes x--èetÿ--9, puis à celle des courbes x + 28 et $ — 26, et ainsi de suile. En tous ces points, la fonction aura la même valeur 2 -+ 8. La courbe suivante passera par les intersections de x et $ + 6, x + ô et 5, x -- 28 et 8 — 5, et ainsi de suite, et la fonction qui correspond à cette courbe est x + 3-1 à.

De cette facon, étant tractes la série des courbes z et la série des courbes 5, on peut construire la série x -- 3.

Ces trois séries de courbes peuvent être tracées à part sur trois feuilles différentes de papier transparent; et, lorsque la première et la seconde sont convenablement superposées, on peut tracer la troisième.

Les fonctions conjuguées pouvant ainsi être combinées par add:ition, nous avons le moyen de tracer sans peine les figures répondant à bien des cas intéressants, dès l'instant que nous savons tracer les figures pour les cas simples dont ils sont formés. Mais le théorème suivant nous fournit une méthode bien plus puissante pour transformer les solutions.

185. TuéorÈxe IT. — St x" et y” sont des fonctions conjuguées pur rapport aux variables x' et y”, et si x' et y' sont des fonctions conjuguées par rapport à x et à y, x" et y" sont conjuguées par rapportä xel y.

340 1'* PARTIE, CHAP. XII. — THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. En effet, 0x" ox" dx" dx" dy or 0 0x dy dr’ Y y, 0%

dy dy 0x dy’ .

dy 3 et a don dy Ôx" 0y dy" dy

— un Qu D Os mt mn

et ce sont là les conditions pour que x” et y” soient conjuguées de x

et y.

On peut aussi le voir d’après la définition primitive des fonctions

conjuguées. Car z'+W—17" est une fonction de z'+W— 17", et x'+V—1y' est une fonction de x +W— 17. Donc, z'+#—17y" est une fonction de z +W—1 y.

De mème, on montrerait que, si x’ et y’ sont des fonctions conjuguées de x et y, æ et y sont des fonctions conjuguées de :r' et y’.

Ce théorème peut recevoir l'interprétation graphique suivante :

Prenons x’ et y’ pour coordonnées rectangulaires, et traçons sur le papier les courbes qui répondent à des valeurs en progression arithmétique de x” et de y”. Nous avons ainsi un double système de courbes qui partage le papier en petits carrés. Traçons aussi sur le papier des lignes droites horizontales et verticales, également espacées, et inscrivons auprès de ces lignes les valeurs correspondantes de x' et y’.

Prenons maintenant une autre feuille de papier, sur laquelle x et sont pris pour coordonnées rectangulaires, et sur laquelle on trace un double système de courbes z’ et y”, chacune des courbes portant l'indication des valeurs correspondantes de x’ et y’. Ce système de coordonnées curvilignes correspondra, point pour point, au système de coordonnées reclilignes x’ y’ de la première feuille de papier.

Si donc nous prenons un nombre quelconque de points sur la courbe x” de la première feuille, et si nous notons les valeurs de 2” el y’ en ces points; et si nous marquons les points correspondants sur la seconde feuille, nous obtiendrons autant de points de la courbe transformée x”. Si nous faisons de même pour toutes les courbes x”,