REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION, ETC

y” de la première feuille, nous obtiendrons sur la seconde une double série de courbes x”, y” de forme différente, mais possédant la même propriété de parthger le papier en petits carrés.

186. Taéorkye III. — Sz V est une fonction de x' et de y', et six’ et y' sont des fonctions conjuguées de zety,ona

MICRO CEE

l'intégration étant effectuée entre les mêmes limites.

En effet,

OV. OV ox. OV dy 0x Ur 0x dy! dx” 03V __ AV /dr'\1 dV oz’ dy 03V /dy ox? ox’? (TE) +2 ? 0x 0y V4 dx dx oy'i (Z) OV dir" OV dy’ x 071 dy ort?

OV AV /or'\! DV ox dy. V/fdy me (9) y oo (y) LV DE OV Üx" dy? dy

Additionnant ces deux dernières équations, et nous rappelant les conditions (1) relatives aux fonctions conjuguées, nous trouvons

AMV AV dV ( ) wY oV =) 9y' } | EE > = — — + | — + —;% D + or? y? ur"? 0x dy 0y* ( 0x ( dy = (2x Vo! x ( y" Or dr )

5 g)\or à 0 vx

d'où 02 V n JV PV. dJV\/ox' dy 0x" dy" SJ ra as) = [fus a) à ed o2V d2V , = ff Qs+ gs) dr.

Mais, si V est un potentiel, on a, d’après l'équation de Poisson,

PV 02V dm + ge ti

Rp

et le résultat peut s’écrire

Jf eas dy = [ [ v dr dy

342 1'© PARTIE, CHAP. XII. — THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. c’est-à-dire qu'il y a la même quantité d'électricité dans les pm correspondantes des deux systèmes, si les coordonnées d'un sy— sont des fonctions conjuguées des coordonnées de l’autre système

Théorèmes additionnels relatifs aux fonctions conjuguées.

187. Taéorèue IV. — Sir, et y,, x, et y, sont des fonctions Juguées par rapport à ret y,etsti

X = Tits— Vide Y = La + LeYi X et Y sont des fonctions conjuguées de x et y. En effet,

X +- ÿ—:1 Y — (ri + V—171)(ran- V-=173).

Tuéorëme V. — Si est une solution de l'équation

22 91 — + — —=0 or? dy? ’ et si l’on pose JP \? db \? or € — œ — — == — o—l ——.

2R = log | (5) +(S) l 6 ang! 7 dy

R et 8 sont des fonctions conjuguées de x et y.

. . , oD 0 ,.

En effet, R et 8 sont des fonctions conjuguées de se de Ta les-

quels sont des fonctions conjugutes de x et y.

EXEMPLE I. — Inversion.

188. Comme exemple de la méthode générale de transformation, prenons un cas d'inversion à deux dimensions. Soient O un pont fixe dans un plan ; OA une direction fixe; et soient r — OP — ael,0— AOP: enfin, x et y les coordonnées de P par rapport à O :

p = log = Vr'+ri, 0=tang-! L.

x = aep cos, y = aePsiné.

e et Ô sont des fonctions conjuguées de x et y. Si »'—= net 0'— 70, 0’ et 0’ seront des fonctions conjuguées de ?