IMAGES ÉLECTRIQUES DANS LES FIGURES À DEUX DIMENSIONS

el 6. Dans le cas où 7 = — 1, nous avons , ? a? L (6) r=--s (0: — 06, r

ce qui correspond à l'inversion ordinaire combinée avec une rotation de 18° de la figure autour de OA.

Inversion des figures à deux dimensions.

Dans ce cas, si r et r’ représentent les distances des points correspondant au point O; c et e’ les charges totales d’un corps; S et S’ les éléments de surface; V et V' les éléments de volume; 7 et s’ les den-

silés superficielles ; 5 et :’ les densités de volume; © et &’ les potenels correspondants dans les deux systèmes, OS at rt Va re’ (7) r > PEU OV rs 7 e / | g' r? a? p r* at IT En? Sem Sol.

3 a r'° p a* r ExEMPLE Il. — Images électriques dans les figures à deux dimensions.

189. Soit À le centre d'un cercle de rayon AQ — b; soit E la charge en À; le potentiel en un point quelconque P est

(8) d — 2E log AP?

et si ce cercle est la section d'un cylindre conducteur creux, la den-

sité superficielle en un point quelconque Q est — EU

Transformons le système par rapport à O, posant

# + b nous avons alors en A’ une charge égale à celle de A, avec AA' — a

344 Ir PARTIE, CHAP. XII. — THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. La densité en Q' est E b?-—- AA

27 bd A'Q

et le potentiel en un point P' intérieur au cercle est

b'— D — 2E(logb — log AP) (9)

— 2E(logOP'— log A'P'— logm).

Cette distribution équivaut à la combinaison d'une charge E en A'et d'une charge — E en O, image de A’ par rapport au cercle. La charge idéale de O est égale et contraire à celle de A’.

Si le point P’ est défini par ses coordonnées polaires rapportées au centre du cercle, et si nous posons

p= logr—logb et po logAA'— logb, nous avons

(10) AP'=— bep, AA'—bef,, AO — be-Po, et le potentiel au point (p,6) est

db — Elog(e-?Po— 2e-PoeP cos0 + etP) ( -- E log(e?Po — 2eP0eP cosÔ + ep) + 2E po.

C'est là le potentiel produit au point (p, 8) pour une charge E placée en (Po, 0), sous la condition que + — o quand p — 0.

Dans ce cas, p et 0 sont les fonctions conjuguées de l'équation (5); p est Le logarithme du rapport du rayon vecteur d’un point au rayon du cercle, et 0 est un angle.

Le centre est le seul point singulier dans ce système de coordon-

nées, et l'intégrale de ligne IE ds prise le long d'une courbe fermée

est o ou 27, suivant que la courbe fermée renferme ou non le centre.

ExempceE III. — Transformation du cas précédent par Neumann (!:.

190. Soient « et 8 deux fonctions conjuguées quelconques de x et J, telles que les courbes « soient des lignes équipotentielles, et les courbes (8) les lignes de force dans un système formé d’une demiunité d'électricité placée à l’origine, et d’un système électrisé disposé d’une manière quelconque à une certaine distance de l'origine.

(!) Journal de Crelle, 1861.