TRANSFORMATION DU CAS PRÉCÉDENT PAR NEUMANN

Supposons que la courbe pour laquelle le potentiel est «, soit fermée, et telle qu'aucune partie du système électrisé, sauf la demi-unité placée à l'origine, ne soit comprise dans la courbe.

Alors toutes les courbes (x) comprises entre celle-ci et l'origine seront des courbes fermées entourant l’origine; et toutes les courbes (8) se rencontrent à l'origine et coupent orthogonalement les courbes (2).

Les coordonnées d'un point quelconque intérieur à la courbe (x) seront déterminées par les valeurs de x et 3 en ce point; et si le point se déplace dans le sens positif sur une des courbes (2), la valeur de (3) augmentera de 27 à chaque révolution complète.

Supposons maintenant que la courbe (x,) soit la section de la surface intérieure d'un cylindre creux de forme quelconque, maintenu au potentiel zéro, et soumis à l'influence d’une charge répandue avec une densité linéaire Ë sur une ligne droite se projetant à l’origine; nous pouvons alors ne point con$idérer le système électrisé extérieur, et nous avons pour le potentiel en un point quelconque (x) intérieur à la courbe

(12) G::2E(Xx— %).

et pour la quantité d'électricité qui est répandue sur la partie de la courbe x, comprise entre les points correspondant à 3, et f,,

(13) Q= = EC Be

Si, par cette méthode ou par toute autre, nous avons déterminé lÎa distribution du potentiel dans le cas d'une courbe de section donnée, et d'une charge placée en un point donné pris pour origine, nous pouvons passer au cas d'une charge placée en tout autre point, par une simple application de la méthode sénérale de transformation.

Soient 2, et 3, les valeurs de x et 3 au point où est placée la charge; substituant dans l'équation (11) 3 — x, à 5, 3--8, à 0, nous trouvons pour le potentiel d'un point quelconque, dont les coordonnées sont x el à,

e- E log[r— 2e2r%:2% cost 8 — By. c225%—2%)]

- Élogfr -2e%-%cos($ — 3) — et2-4)] — 2 Ex -- 20).

Cette expression du potentiel se réduit à zéro quand 2 -= 2,; elle est finie et continue à l'intérieur de la courbe x, sauf au point (z,,8;), pour lequel le second terme devient infini; et, dans son voisinage immédiat, elle à pour valeur limite — 2Elog7", où r' est la distance à ce point.

Nous sommes donc en mesure d'obtenir la solution du problème de Green relatif à la charge d’un point quelconque intérieur à une courbe fermée, si nous connaissons la solution pour un autre point.

La charge induite sur l'élément de la courbe 2, qui est compris entre les points 8 et 3 -- 43, par une charge E placée au point (2,, 4). est, en cmployant la notation du $ 183,

où ds, est mesuré vers l'intérieur et où l’on fait x. 2, apres la diflérentialion.

Ceci devient, d'après l'équation (4) du $ 183,

c’est-à-dire E 1- pi%-%)

27 1--26t 4-2 COS( 3 — 81) ce A TX es.

Au moyen de celte expression, nous pouvons trouver le potentiel en un point quelconque (z,, 8,) intérieur à la courbe fermée, lorsqu'on donne en fonction de 8 la valeur du potentiel en chaque point de Ja courbe fermée, et qu'il n’y a point de charge à l’intérieur de la courbe fermée.

En effet, d'après le $ 86, la partie du potentiel de (2,,3,) qui est due à ce qu'une partie d3 de la courbe fermée est maintenue au potentiel V, est 7 V, # étant la charge induite sur 43 par une unité d'électricité placée en (2,, 3,). Done, si V est le potentiel en un point de la courbe fermée, potentiel exprimé en fonction de 3, et si est le potentiel au point (z,,8;,) intérieur à la courbe fermée, celle-ei ne

renfermant d'ailleurs aucune charge,

2 one (16) p J [ 10 —e2%-2% )V 43 2T 1-26 Ti cost — 5) —- eh 2

ExEMPLE IV. — Distribution près de l’arète d'un conducteur formé de deux faces planes.

191. Daus le cas d'une face plane conductrice indéfinie, chargée

l D d'électricité avec une densité superficielle 3,, nous avons trouvè pour le potentiel, en un point situé à une distance y du plan,

C étant la valeur du potentiel sur le conducteur mème.