FT = = = — — 3

dr ar —24 °\a

Si l'angle est saillant, x est plus petit que r, et la densité superficielle varie en raison inverse d'une certaine puissance de la distance à l'arète ;

de sorte que, sur l’arête même, la densité devient infinie, et cela bien que la charge totale évaluée depuis l’arête jusqu'à une distance finie quelconque soit toujours finie.

Ainsi, quand « — 0, l'arête est infiniment aiguë, semblable à la section d’un plan mathématique. Dans ce cas la densité varie en raison inverse de la racine carrée de la distance à l’arête.

Si a => l'arête est semblable à celle d’un prisme équilatéral, et la densité varie en raison inverse de la puissance ? de la distance.

Si 4 — l’arête forme un angle droit, et la densité est en raison inverse de la racine cubique de la distance.

Si = 57, l’arête est semblable à celle d’un prisme hexagonal, et

la densité est en raison inverse de la racine quatrième de la distance. Si «a — =», l’arête disparaît, la densité est constante.

PA Si a — 3 r, l’arête est semblable à l'intérieur d’un prisme hexagonal,

et la densité est directement proportionnelle à la racine carrée de la distance.

Si « — 3 l’arête est un angle droit rentrant, et la densité est proportionnelle à la distance à l’arête.

. 5 A s Si à — 37 l’arête est un angle rentrant de 60°, et la densité est pro-

portionnelle au carré de la distance à l'arète.

En réalité, dans tous les cas où la densité devient infinie en un point quelconque, il ÿ a décharge électrique dans le diélectrique en ce point, ainsi qu'il a été expliqué au & 55.

ExemPie V. — Ellipses et hyperboles.

192. Nous avons vu que si (1) Ti —=e?cosY, J1—e?sinY, x et y sont des fonctions conjuguées de & et Ÿ.

De mème, si (2) Ti= 67? cosŸ, ÿY:— —e-?sin, æ3 et y, sont des fonctions conjuguées. Donc, si 2T — Ti+is — (ef+e-F)cosé, 2Y —ÿYi-rJa=(e?—e-?)sinY, æ et y sont des fonctions conjuguées de + et y.

Dans ce cas, les points pour lesquels © est constant sont sur l’ellipse dont les axes sont e? + e-? et e? — e-?.

Les points pour lesquels Ÿ est constant sont sur l’hyperbole dont les axes sont 2 cos et 2 sind.

Sur l'axe des x, entreæ=-—1etx—+1,

(4) © —0, 4% — arc cosr.

Sur l'axe des x, de part et d'autre de ces limites, nous avons de chaque côté

o —log(r+yzii),

T1 dL—o TI V=Tr o = log(ÿzt—1— 7x).

Si donc vw est la fonction potentielle, et ÿ la fonction d'écoulement, nous avons le cas d’un écoulement d’électricité s'effectuant du côté positif vers le côté négatif de l'axe des x, à travers l’espace compris entre les points + 1 et — 1, les parties de l’axe situées au delà de ces points étant imperméables à l'électricité.

Puisque, dans ce cas, l’axe des y est une ligne de flux, nous pouvons le regarder comme étant aussi imperméable pour l'électricité.

Nous pouvons donc considérer les ellipses comme étant les sections des surfaces équipotentielles dues à un conducteur plat, de longueur infinie, de largeur 2, et chargé d’une demi-unité d'électricité par unité de longueur.

Si nous prenons Ÿ pour fonction potentielle, et # pour fonction d'écoulement, le cas devient celui d’un plan infini, dans lequel on aurait enlevé une bande de largeur 2. D'un côté, le plan est au potentiel +; de l’autre, il est an potentiel zéro.

Ces cas peuvent être considérés comme des cas particuliers des surfaces de second degré, étudiées au Chapitre X. La forme des courbes est donnée sur la PI, 4.

Exeuvze VI, — PI, FI.

193. Considérons maintenant 2’ et y’ comme des fonctions de x et y définies par les équations