PI. XI
Lignes de force près du bord d'une plaque.
l'axe des :r dans la fs. 1 appartiendront, dans la fig. 2, à une série de lignes parallèles à &', pour lesquelles y’ =: bn'#, n' étant un nombre entier quelconque.
Sur ces lignes, les valeurs positives de +’ correspondent aux valeurs de :r plus grandes que l'unité, et nous avons vu que l'on a pour ces
valeurs
‘ Jr” (7) V=nT, © done Var or,
Les valeurs négatives de z’ sur ces mêmes lignes correspondent aux valeurs de + plus petites que l'unité, pour lesquelles nous avons vu
que l'on a
(8) m--0, % —arccosr = arccose
Les proprictés de l’axe des y de la fg. 1 appartiennent, dans la fig. 2, à une série de lignes parallèles à x’, pour lesquelles on a
(9) >= 0br(n' +14).
La valeur de % le long de ces lignes est 4 =:r(r — 1) pour tous les points, positifs ou négatifs, et
x ar (ro) gclog(y--vyri log (et ue Ve bu ).
Les courbes pour lesquelles & et Y sont constantes peuvent être tra-
cées directement, d’après leurs équations 240 log£(e?-r e-29 + 2 cos24).
J':= btang”! (TL lang ) -
Comme la figure se reproduit pour des valeurs de y’ différant entre elles de 7 b, il suffit de la tracer dans un de ces intervalles.
Il y à deux cas, selon que e ou Ÿ change de signe avec y’. Supposons que ce soit z qui change de signe. Alors toute courbe pour laquelle & est constant est symétrique par rapport à l'axe des x’, et le coupe orthogonalement en un point situé du côté négatif. Si nous partons de ce point, pour lequel # :-:0, et si nous faisons croître #, la courbe, d'abord orthogonale à l’axe, s’infléchit peu à peu, et finit par devenir, pour de grandes valeurs de #, parallèle à l'axe des x'. Le côté positif de l'axe des r' appartient au système et correspond à 4 — o; et quand "=" 2$rb,% = ir. Les figures pour lesquelles 4 a des valeurs con-
stantes, comprises entre o et1r, forment donc un système de courbes qui comprennent le côté positif de l'axe de x.
Les courbes pour lesquelles + a des valeurs constantes coupent orthogonalement le système , et les valeurs de » varient de —æ à --. Pour toutes celles de ces courbes » qui sont menées au-dessus de l'axe des x, la valeur de # est positive; le long de la partie négative de l'axe des x’, sa valeur est zéro; enfin, pour toute courbe située en dessous de l’axe des zx’, sa valeur est négative.
Nous avons vu que le système Ÿ est symétrique par rapport à l'axe des r. Soit PQR une courbe quelconque coupant ce svstème orthogonalement, et se terminant, en P et en R, sur les courhes »" !+0. le point Q étant situé sur l'axe des .r”. La courbe POR est symétrique par rapport à l'axe des 2’; mais, si la valeur de » le long de PQ est c, elle sera — c le long de OR. On se rend compte de cette discontinuité de # par une distribution électrique du genre de celle qui sera discutée au $ 195.
Si maintenant nous supposons que ce sait #, elnone, qui change de signe avec }”, les valeurs de & varient de o à œ. Pour 5:=0, nous avons la partie négative de l'axe des æ; pour e :æ, nous avons une perpendiculaire à l’axe des æ’ située à une distance infinie. Le lon d’une ligne POR quelconque comprise entre les deux précédentes, la valeur de ç est constante et positive.
Toute valeur ÿ subit un brusque changement au point où la courbe pour laquelle 4 est constant coupe la partie négative de l'axe des 7’ : le signe de % change. On verra au $ 197 la signification de cette discontinuité.
Les lignes, que nous venons d'apprendre à tracer, sont représentées sur la PL. ÆZ, réduite aux deux tiers du diagramme : Le tiers supé-
rieur est à supprimer.
19%. Si nous considérons & comme la fouuction potentielle et & comimne Ja fonction d'écoulement, le cas actuel est celui d'une bande de métal infiniment longue, de largeur +4, présentant à partir de l'origine et sur une longueur indéfinie dans le sens positif une cloison non conductrice, qui partage la partie positive de Ja bande en deux canaux distincts. Nous pouvons supposer que cette séparation soit produite par une coupure très étroite pratiquée dans la bande métallique.
Si l'on fait circuler un courant électrique, entrant par Fune de ces parties et sortant par l’autre, l'entrée et la sortie seront à une dislance infinie du côté positif de l’origine, et les fonctions z et 4 donneront la distribution du potentiel et du courant.
Si, au contraire, nous prenons Ÿ pour le potentiel et pour la fonc-
TR
tion d'écoulement, nous nous trouverons dans le cas d’un courant ayant pour direction générale celle de l'axe des y”, et circulant à travers une feuille métallique dans laquelle on aurait pratiqué un certain nombre de coupures non conductrices, parallèles à l’axe des x’, et s'étendant de l'axe des y’ à l'infini, dans le sens négatif.
195. Nous pouvons appliquer ces résultats à deux cas importants en électricité statique.
1° Soit un conducteur en forme de feuille plane, présentant une arète rectiligne, et illimité partout ailleurs. On le met dans le plan des .r5, du côté positif de l’origine, et l'on place parallèlement, à une distance À 7 d de chaque cèté de ce plan, deux plans conducteurs indéfinis. Alors, si % est la fonction potentielle, sa valeur est zéro pour le conducteur du milieu, et 7 pour les deux autres plans.
Considérons la quantité d'électricité qui se trouve sur la partie du conducteur central, qui s'étend sur une hauteur 1 dans le sens de 3, et sur une longueur de z’— a à partir de l'origine.
La quantité d'électricité qui existe sur la partie de cette bande qui
L] Ï est comprise entre r, et .r, est Tz (Sa — 91).
Donc, depuis l’origine jusqu’à x°— a, la quantité d'électricité est
( ad / 24 ‘
(11) E — — log Le —\ e” —1,
ce qui devient, si a est grand comparativement à b,
| . 7 a + blog.2 (121 E == b 777 re*,
— log2e Donc la quantité d'électricité, répandue sur un plan limité par une arêtle rectiligne, est plus grande que si l'électricité avait été distribuce avec une densité uniforme égale à celle qui existe à une certaine distance de l'arète; la quantité existante est égale à celle qui, pour la même densité uniforme, serait répandue sur un plan s'étendant sur une largeur blog.2, au delà de la limite actuelle du plan.
Gette distribution uniforme imaginaire est figurée par les lignes pointillées de la PL .FZ. Les verticales représentent les lignes de force; les horizontales, les surfaces équipotenticiles, en supposant la densité uniforme sur les deux plans prolongés à l'infini dans toutes les directions.
196. Les condensateurs électriques sont quelquefois formés d'un Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 2)
plateau placé à égale distance de deux autres plateaux parallèles s'étendant de tous les côtés beaucoup plus loin que le plateau du milieu. Si le rayon de courbure de la ligne qui limite le plateau du milieu est grand, relativement à la distance des plateaux, nous pouvons considérer cette courbe comme une ligne droite, et approximativement calculer la capacité du condensateur, en supposant que la surface du plateau du milieu soit augmentée par une couronne de largeur uniforme régnant tout autour de la courbe limite, et en supposant également que, sur le plateau ainsi accru, la densité superficielle soit uniforme et égale à ce qu’elle est sur les parties éloignées de la courbe limite.
Ainsi, si S est l'aire véritable du plateau, L sa circonférence, B la distance des grands plateaux, nous avons
et la largeur de la couronne additionnelle est
(14) — Re B, de sorte que l'aire augmentée est (15) s'= 5 + l0Re2 py.
La capacité du plateau du milieu est donc
(16) == (pt+Laloa).
Correction pour l'épaisseur du plateau.
Comme le plateau du milieu a généralement une épaisseur que l'on ne peut négliger devant la distance des plateaux, on obtient une présentation plus exacte des faits dans le cas actuel, en supposant que la section du plateau intermédiaire correspond à la courbe & = Ÿ:
Le plateau aura, à une certaine distance du bord, une épaisseur à peu près uniforme $ — 2b4"', mais sera arrondi vers le bord.
La position effective du bord du plateau s'obtient en faisant 1 d'où
(15) æ'= b log.(cosŸ').
, . rl La valeur de 4’ sur ce bord est zéro, et, au point pour lequel =°*
