DENSITÉ PRÈS DES BORDS
elle est a-: blog, b
Donc, la quantité d'électricité répandue sur le plateau est la même que si l'on avait ajouté à ce plateau une couronne de largeur
[ logea 4. loge ( cos = ) |
ou
B T3 * (18) = loge ( 2 cos BJ’
la densité étant supposée avoir en tous les points la valeur qu'elle à une certaine distance du bord.
Densité près des bords.
La densité superficielle en un point quelconque du plateau est
Tr 7, y (19) LL | e = — (r Le D + e 4 9 7 da 470 2 EMA 8
La quantité entre parenthèses tend rapidement vers l'unité, quand zx’ croit, de sorte que, à une distance du bord égale à n fois la largeur de la couronne 2, la densité effective excède la densité normale d'environ
l e ,° —— de la densité normale.
De mème, nous pouvons calculer la densité sur les plans indéfinis
(20) ad Ja
V ep +;
Quand xz'— 0, la densité effective est à la densité normale dans le rapnn portde2 *àr.
Du côté positif, à une distance égale à 7 fois la largeur de la coue ’ e , . NN °. . e I ronne, la densité est inférieure à la densité normale d’environ n° Du côté négatif, à une distance égale à 7 fois la largeur de la cou- …., 1. 7 ronne, la densité est environ A de la densité normale.
Ces résultats montrent quel degré d’exactitude on peut attendre, si
l’on applique cette méthode à des plateaux d’étendue limitée, en présentant des irrégularités dans le voisinage des bords. La mème distribution s’établirait dans le cas d'une série illimitée de ces plateaux équidistants, dont les potentiels seraient allernativement + V et — Y. Dans ce cas, nous devons prendre la distance des plateaux égale à B.
197. 2° Le second cas que nous étudierons est celui d'une série infinie de plans parallèles au plan des .r3, distants les uns des autres de B—-rb, et tous coupés par le plan des y3, de manière à ne s’étendre que du côté négatif de ce plan. Si nous prenons + pour fonction potentielle, nous pouvons regarder ces plans comme des conducteurs au potentiel zéro.
Considérons les courbes le long desquelles © est constant. Pour
y'= nb, c'est-à-dire sur le prolongement de chacun des plans, nous
avons
(21) T' = blog L(e? + e-?).
Pour }'= (a + {)rb, c'est-à-dire dans les positions intermédiaires, (22) z'= blogi(e? — e-?).
Donc, quand & est grand, la courbe pour laquelle & est constant est une ligne onduleuse dont la distance moyenne à l'axe des y’ est approximativement
(23) a = b(e—loge2:.
L'amplitude des ondulations de chaque côté de cette ligne est
e?-:- ee (24 ) +0 log Des"
Quand & est grand, cette expression devient be-*?, de sorte que la forme de la courbe se rapproche d’une ligne droite parallèle à l’axe des 7’, à une distance a de l'axe, du côté positif.
Si nous supposons un plan z'— a maintenu à un potentiel constant, tandis que le système des plans parallèles est maintenu à un potentiel différent, Le — a + b log.2, et, par suite, la densité superficielle de la charge induite sur ce plan est égale à la densité de la charge qui y aurait été induite par un plan parallèle, porté au mème potentiel que la série des plans, et placé à une distance blog.2 plus loin que le bord de ces plans parallèles.
Si B est la distance de deux plans de la série, B — +, et la distance
