RELATIONS ENTRE LES QUANTITÉS PHYSIQUES ET LES DIRECTIONS, ETC

et, s’il y a trois couples de coefficients égaux, que la fonction est autoconjuguée.

Dans le cas de l'induction magnétique dans le fer, le flux (l’aimantation du fer) n’est pas une fonction linéaire de la force magnétisante. Mais, dans tous les cas, le produit de la force par la composante du flux suivant la direction de la force est un élément d’une grande importance scientifique, qui est toujours une quantité stalaire.

1%. Il y a deux opérations mathématiques qui se présentent souvent, et qui sout propres à chacune des deux classes de vecteurs ou quantités dirigées.

Dans le cas des forces, nous avons à prendre l'intégrale le long d'une ligne, du produit d’un élément de cette ligne par la composante de la force suivant cet élément. Le résultat de cette opération est appelé l'intégrale de la force suivant cette ligne; il représente le travail accompli sur un corps pendant son transport le long de la ligne. Dans certains eas où l'intégrale ne dépend plus de la forme de la ligne, mais seulement des positions de ses extrémités, elle prend le nom de potentiel.

Dans le cas du flux, nous avons à prendre l'intégrale sur une surface du flux qui traverse cette surface. Le résultat de cette opération est appelé l'intégrale du flux sur cette surface, et représente la quantité qui traverse la surface.

1l y a certaines surfaces à travers lesquelles ne s'effectue point de flux. Si deux de ces surfaces se coupent, leur ligne d’intersection est une ligne de flux. Dans le cas où le flux est dans la direction de la force, ces lignes sont souvent appelées lignes de force. Il serait cependant plus correct de les appeler, en électrostatique et en magnétisme, lignes d'induction, et, en électrocinématique, lignes d'écoulement.

15. 11 y a une autre distinction entre les différentes espèces de quantités dirigées, qui, très importante au point de vue physique, est moins nécessaire à observer pour l'application des méthodes mathématiques : c'est la distinction des propriétés de longueur et de rota- Lion.

La direction et la grandeur d’une quantité peuvent dépendre d’une action ou d'un effet qui se produit entièrement suivant une certaine ligne, ou bien elles peuvent dépendre de quelque élément qui est de la nature d’une rotation autour de cette ligne prise comme axe. Les lois de combinaison des quantités dirigées sont les mêmes, que ces quantités soient longitudinales ou rotatoires, en sorte qu'il n'y a

pas de différence dans la facon de traiter par le calcul les deux classes; mais il peut y avoir des circonstances physiques qui nous montrent à quelle classe nous devons rapporter un phénomène particulier. Ainsi l’électrolyse consiste dans le transport, suivant une certaine ligne, de certaines substances dans une direction, de certaines autres substances dans la direction contraire; c'est évidemment un phénomène longitudinal, et aucun effet observé ne semble se rapporter à une rotation autour de la direction de la force. De [à nous inférons que le courant électrique qui produit ou accompagne l'électrolyse est un phénomène longitudinal et non rotatoire.

D'autre part, le pôle nord et le pôle sud d’un aimant ne diffèrent pas entre eux à la facon de l'oxygène et de l'hydrogène, qui, pendant l'électrolyse, apparaissent en des points opposés, en sorte que rien ne nous porte à croire que le magnétisme soit un phénomène longitudinal; tandis que l'effet du magnétisme, qui détermine la rotation du plan de polarisation de la lumière, nous montre nettement que le magnétisme est un phénomène de rotation.

Des intégrales suivant une ligne.

16. C'est une opération importante dans la Physique en général, et qui doit être clairement comprise, que l'intégration de la composante d’un vecteur effectuée le long d’une ligne.

Soient x, y, 3 les coordonnées d’un point P pris sur une ligne dont la longueur, comptée à partir d’un certain point A, est s. Ces coordonnées sont des fonctions de la seule variable s.

Soit R la valeur du vecteur aufpoint P, et soit & l'angle que la tangente au point P fait avec la direction R; alors R cose est la composante de R suivant la ligne, et l'intégrale

L = f R cose ds 9 ,

est appelée l'intégrale de R suivant la ligne s. On peut écrire cette expression

où X, Ÿ, Z sont les composantes de R parallèlement à x, y, s. En général, cette quantité est différente pour les différentes lignes que l’on peut mener entre A et P. Mais si, dans une certaine région,

la quantité Xdr-Ydy + Zd:=— dY,

DES POTENTIELS. 19

c'est-à-dire est une différentielle exacte dans cette région, la valeur de L devient | Wi—W,

et reste la même pour deux formes quelconques du contour compris entre À et P, pourvu que l’on puisse passer d’une forme à l’autre d’un mouvement continu, sans sortir de la région [et que la fonction Y n'ait qu'une seule valeur en chaque point de la région. (P.)].

Des potentiels.

La quantité Y est une fonction scalaire de la position du point, et par suite elle est indépendante des directions des axes. On l'appelle la fonction potentielle, et on dit que le vecteur dont les composantes sont X, Ÿ, Z a un potentiel W', si

OW\ (11 4 ; cl'e (a) =) 22) Quand il existe une fonction potentielle, les surfaces pour lesquelles le potentiel est constant sont appelées surfaces équipotentielles. La direction de R en un point quelconque d’une pareille surface coïncide

avec la normale à cette surface; et, si À est une normale au point P,

on a dY R=— (9).

La méthode qui consiste à considérer les composantes d'un vecteur comme les dérivées premières par rapport aux coordonnées d'une certaine fonction de ces coordonnées a été imaginée par Laplace (1), pour traiter la théorie de l'attraction. Le nom de potentiel a été donné pour la première fois à cette fonction par Green, qui en a fait la base de sa théorie de l'Électricité (2). L'essai de Green ne fut pas remarqué des mathématiciens, jusqu’en 1846, et avant cette époque la plupart de ses théorèmes les plus importants avaient été retrouvés par Gauss, Chasles, Sturm et Thomson ().

Dans la théorie de la gravitation, le potentiel est pris avec un signe contraire à celui que nous employons 1c1; et, par suite, la force résul-

(*) Wecanique celeste, liv. LIL.

(*) Essai d'application de l'Analyse mathématique à la theorie de l’Électricite et du Magnetisme (Nottingham, 1828), réimprimé dans le Journal de Crelle et dans l'édition des Œuvres de Green, de M. FERRERS.

(°) Taowsox et Tair, Watural Philosophy, $ 483.

tante en un point quelconque se mesure par l'accroissement de la fonction potentielle dans cette direction. Dans les recherches d'électricité et de magnétisme, le potentiel est défini de telle sorte que la force résultante dans une direction donnée se mesure par le décroissement du potentiel dans cette direction. En en-ployant l'expression de cette manière, on fait correspondre son signe à celui de l'énergie potentielle, qui décroît toujours quand les corps se meuvent dans la direction où les forces agissent sur eux.

17. La découverte de Hamilton, sur la forme de l'opérateur par laquelle le vecteur se déduit du potentiel, jette une vive lumière sur la nature géométrique de la relation qui existe entre le potentiel et le vecteur qui en est tiré.

Ainsi que nous l’avons vu, la composante du vecteur dans une direction est la dérivée première du potentiel prise par rapport à une coordonnée comptée dans cette direction, le signe eu étant renversé.

Or, soient #, J, # trois vecteurs unités, perpendiculaires l’un sur l’autre, et soient X, Ÿ, Z les composantes du vecteur $ parallèlement à ces vecteurs : alors

(1) S=iX+JY+E4Z

et, d'après ce que nous avons dit plus haut, si Y est le potentiel,

. 0Y .0Ÿ oÿ"

Et si nous représentons par V l'opérateur

. 0 . 0 d on a (1) £—=—\VY.

On peut donner au symbole d'opérations V Finterprétation suivante : 1] indique qu’il faut mesurer sur chacune des trois directions rectangulaires l'accroissement de Y; puis, considérant les quantités ainsi trouvées comme des vecteurs, qu'il faut les composer en une seule. C'est ce qui est indiqué par l'expression (3). Mais on peut aussi la considérer comme indiquant qu'il faut trouver la direction pour laquelle Y croit le plus vite, et de porter sur cette direction un vecteur représentant cet accroissement.

Lamé, dans son Traité des fonctions inverses, emploie le terme de paramètredifférentiel pour exprimer la grandeur de cet accroissement

DES POTENTIELS. 7

maximum; mais ni le terme lui-même, ni la facon dont Lamé en fait usage, n'indiquent que la quantité désignée ait une direction propre aussi bien qu'une grandeur. Dans les rares occasions où j'aurai à considérer cette relation comme purement géométrique, j'appellerai le vecteur £ le gradient de la fonction scalaire W°, employant le mot gradient pour désigner la direction aussi bien que la grandeur de la chute la

plus rapide de V:.

18. I y a toutefois des cas où les conditions pour que Xdr -1- Y dy -;- Ld:

soit une différentielle exacte, à savoir

OL YOOX 92 0 0 dy 03 us dr D

sont remplies dans une certaine région de l'espace, et où cependant l'intégrale prise de À à P peut avoir des valeurs différentes pour deux contours, tous deux entièrement compris dans la région. Ce cas peut se présenter si la région est en forme d'anneau, et si les deux lignes de À à P sont situées dans des segments opposés de l’anneau. On ne peut, dans ce cas, passer d'un contour à l’autre d’un mouvement continu sans sortir de la région. Nous sommes conduits ainsi à des considérations rentrant dans la Géométrie de position, sujet peu étudié, quoique son importance ait été signalée par Leibnitz et mise en lumière par Gauss. Le travail le plus complet sur ce sujet a été donné par J.-B. Listing (1).

Soient p points dans l'espace et {Tignes joignant ces points de facon que jamais deux lignes ne se coupent el qu'aucun point ne soit laissé isolé. Nous appellerons diagramme une figure composée de cetle manière. De ces lignes, p — 1 suffisent pour relier les p points el former un système relié. Toute lixne en plus donnera lieu à une boucle ou contour fermé, ou, comme nous l'appellerons, à un cycle. Le nombre des cycles indépendants dans le diagramme est

K=l— ps.

Tout contour fermé, décrit en suivant les lignes du diagramme, se compose de ces cycles indépendants pris chacun un nombre quelconque de fois et dans une direction quelconque.

L'existence des cycles est appelée cyclose, et le nombre des cycles d'un diagramme nombre cyclomatique.

|‘) Der Census raumlicher Complere (Gütt. A4bh., vol. X. p. 95: 1861). Ir. d'Elect. et de Magn., 1. 2

Cyclose des surfaces et des régions.

Les surfaces peuvent ètre complètes ou limitées. Les surfaces complètes sont infinies ou fermées. Les surfaces limitées se terminent par une ou plusieurs lignes fermées, qui, dans le cas limite, peuvent se réduire à des lignes finies doubles ou à des points. Une région finie de l’espace est limitée par une ou plusieurs surfaces fermées. De celles-ci, l’une est la surface extérieure; les autres v sont comprises, sont extérieures les unes aux autres, et sont appelées les surfaces inltérieures.

Si la région est limitée par une seule surface, on peut supposer que celte surface se contracte sans cesser d'être continue ou sans se couper elle-même. Si la région est à simple continuité, comme l'est une sphère, cette opération pourra être conlinuée jusqu à ce que la région soit réduite à un point; mais, si la région a la forme d’un anneau, on obtiendra finalement une courbe fermée; et si la région a des connexions nombreuses, le résultat sera un diagramme de lignes, dont le nombre cyclomatique est celui de la région. L'espace extérieur à la région a le mème nombre cyclomatique que la région, et par suite, si la région est limitée par des surfaces intérieures et extérieures, son nombre cyclomatique est la somme des nombres correspondant à toutes ces surfaces.

Lorsqu'une région renferme d'autres régions, elle est appelée périphractique.

Le nombre des surfaces limites intérieures d'une région est appelé son nombre périphractique. Une surface fermée est périphractique, et son nombre est l'unité.

Le nombre cyclomatique d'une surface fermée est le double de celui de l’une ou l’autre des régions qu'elle limite. Pour trouver le nombre cyclomatique d’une surface limitée, on suppose que toutes les limites se contractent sans cesser d'être continues, jusqu'à ce qu'elles se rencontrent. La surface est alors réduite à un point dans le cas des surfaces acycliques, à un diagramme de lignes dans le cas des surfaces cycliques. Le nombre cyclomatique de ce diagramme est celui de la surface.

19. Taéorkue Ï. —- Sr, dans toute l'étendue d’une région acyclique, \dr +Ydy + Zd: =— dY,

la valeur de l'intégrale prise d'un point À à un point P, le