CYCLOSE DES SURFACES ET DES RÉGIONS
long d'un contour quelconque intérieur à la région, est constante.
Nous montrerons d’abord que l'intégrale prise le long d'un circuit fermé quelconque intérieur à la région est égale à zéro.
Supposons menées les surfaces équipotentielles. Ce sont toutes, ou des surfaces fermées, ou des surfaces complètement limitées par la surface de la région; par suite, une ligne fermée, intérieure à la région, qui coupe une de ces surfaces en un point de son contour, doit forcément couper cette mème surface en sens inverse, en quelque autre point de son contour; les parties correspondantes de l'intégrale de ligne étant égales et contraires, la valeur totale est zéro.
Par suite, si AQP et AQ'P sont deux contours tracés entre À et l, l'intégrale suivant AQ'P est la somme de celle suivant AQP et de celle suivant le contour formé AQ'’PQA, et, l'intégrale suivant le contour fermé étant nulle, les deux intégrales sont égales.
Donc, si le potentiel est donné en un point quelconque d'une pareille région, il est déterminé en tout autre point.
20. THéORÈYE IT. — Dans une région cyclique pour toute l’étendue de laquelle est satisfaite l'équation
Xdr+Ydy-2ds=—dY,
l'intégrale de À à P n’est en général pas déterminée, si l'on ne spécifie le canal par lequel on va de À à P.
Soit £ le nombre cyclomatique de la région : on peut faire dans la région À sections au moyen de surfaces que nous appellerons diaphragmes, et ainsi fermer Æ des canaux de jonction; la resion est ainsi ramenée à être acyclique sans que sa continuité soit détruite.
L'intégrale prise de À à P suivant une ligne qui ne coupe aucun de ces diaphragmes sera, d’après le théorème précédent, de valeur déterminée.
Supposons maintenant À et P infiniment voisins l'un de l’autre, mais situés de part et d'autre d’un diaphragme : soit K l'intégrale suivant le chemin AP.
Soient A’ et P’ deux autres points de part et d'autre du mème diaphragme, et infiniment voisins l’un de l'autre, et soit K' l'intégrale suivant le chemin A’P’. Je dis que K — K’.
En effet, menons AA’ et PP’: ces lignes étant presque coïncidentes,
quoique de part #1 d'autre du disphrazme. les integrales. prises saivant chacune d'elles. seront ézale. Sappesons chacune ezale à Llintecrale de ligne suivant À P <era alors ezale a celle suivant
A'A—AP- PP= -L- K- L—K=- l'intézrale suivant AP.
Denc. l'int-crale prise suivant un conteur ferme qui traverse un diaphresme da s1-teme dans une direction donnée est une quantité constante À. que l'on appelle la constante cyclique correspondant au cscle donne.
Seit une courbe fermee quelcanque tracée à l'interieur de la rézion ét roupant le diaphragme du premier cvcle p fois dans la direction prive et p' fois dans la direction né::ative : et soit p — p —n,. L'int-crale de line suivant la courbe fermce sera n.K..
De meme. l'int=rale de Lizne suivant une courbe fermée quelconque «ra
n.K:—nke- ...--nik;.
où n4 represente l'exce- du nombre des npassazes positifs sur le nom- £ P =
rscle À.
S deux courbes sont telles que l'on puisse passer de l'une à l'autre d'un mouvement continu. san< jamais traverser aucune partion de l'espec- pour laquelle la condition d'avoir un potentiel ne soit pas remplie. les deux courbes sont appelées cœurbes reluctibles. Les courbes gur l--quell cette transformation ne peut ètre faite sont appelées courbes irreductUbhles °..
La condition que Xdr — Y dr — Zd: suit la différentelle exacte S'an- certaine foncuon W pour tous les points intérieurs à une cer- Gene sion <2 rencontre dans differentes recherches phvsiques. dans l-queile: là quantité dirigée et le potentiel ont des significations phvques Acrentes.
Ex Cin-matque pure. on peut supposer que X. Y. Z soient les compiste du déplacement d'un point appartenant à un corps continu, Act les cerdenneées initiales etaient .r. v. :: alors la condition exprim: que l'ensembl: de: déplacements constitue une translation sans rotation ©.
Si NX. Y. Z représentent les composantes de la vitesse d'un fluide au
Bu Sir W. Tessos. Onicrter motion Trans. R. S. Edin.. 1%9:. 7 Ceet-adire 406 exists #0 chaque point du corps trois directions trirectasses. ai restent parall-les à elles-mèmes pendant sa déformation]. loir Tasmios € Tarr. Vatural philosophy, $ 10 var.
