DENSITÉ PRÈS DES BORDS
Supposons que V soitici la fonction + donnée au $ 193, et déterminons la valeur de p d'après cette équation. Nous savons que les deux premiers termes disparaissent et, par suite,
I I d9 (34) — 17 R -- y" y" Si nous admettons qu’en outre de la densité superficielle déjà étudiée l'électricité soit distribuée dans l’espace d’après la loi qui vient d’être établie, la distribution du potentiel sera représentée par les courbes de la PL. FT.
. , , 0 2 k Or on voit aisément sur cette figure que, en général, pe Cst très ( #
petit, sauf sur les bords des plateaux; la nouvelle distribution peut donc ètre représentée approximativement par ce qui existe effectivement, c'est-à-dire une certaine distribution superficielle sur les bords des plateaux.
Si donc nous prenons l'intégrale / {2 dx'dy" entre les limites »'— 0
— tv
er b, de .z'—— à z'—+, nous aurons la charge addi-
tionnelle totale qui résulte pour une des faces du plateau de sa courbure.
. dg dy Puisque - ‘, —— -<, nous avons y ar n +æ@ +2 I I 0 , food) Rire »" . » T ? { (35), ° + x al I l I J" ‘ - ! Û \ —— = - (ob = = 2— —1):
| ÿR Rey Te se ( p —!)
Intégrant par rapport à x’, nous avons
B | OP uso 19R=+B, »R+B (36) IE ed = os ls —— (37) == 1 B 1 Br...
C’est là la moitié de la quantité totale d'électricité que nous devons supposer répandue dans l’espace voisin des bords des plateaux cylindriques, pour chaque unité de circonférence. Et puisque c'est seulement près des bords des plateaux que cette densité est appréciable, nous pouvons, sans modifier sensiblement son action sur la surface plane opposée, supposer toute la charge condensée à la surface du
Le
et LLIE Tr
plateau; et, en calculant l'attraction qui agit entre cette surface et la surface cylindrique, nous pouvons supposer que cette électricité appartient à la surface cylindrique.
S'il n’y avait pas de courbure, la charge superficielle de la surface positive du plateau aurait été, par unité de longueur,
Donc, si nous y ajoutons toute la distribution précédente, il faut mul- !: 1 B .
tiplier cette charge par le facteur (+ 3 R) pour avoir la charge to-
tale de la face positive.
(*) Dans le cas d’un disque de rayon R placé à égales distances de
(*) Lorsque nous avons évalué, au $ 209, la distribution totale dans l’espace, il aurait peut-ètre été plus exact de prendre. pour la représenter, l'intégrale
ff? 27(R--1")dr'di.
. B . , . , , D e ce qui donne — KR Pour chaque unité de circonférence comptéce sur l'arète de
rayon R. On arrive ainsi à la même correction que dans le texte.
On peut aussi traiter comme il suit le cas du disque.
Faisons tourner la figure du $ 195 autour d'une perpendiculaire aux plateaux, à une distance — R du bord du plateau du milicu. Ce bord décrira donc un cercle qui sera le bord du disque. Comme au $ 200, nous partons de l'équation de
Poisson, qui est, dans ce cas,
Supposons maintenant que V soit égal à la fonction potenticlle % du $ 195. Cela revient à supposer cntre les plateaux unc distribution électrique dont la densité de volume p est
1 (Le R—z' 0x
2 f [ 627r(R— 7) dr' dr.
Si R est grand relativement à la distance des platcaux, on verra, en examinant les lignes du potentiel de la P[. 47, que ce résultat est sensiblement égal à
La quantité totale est
mn + 0% J JS. Or dx' dy.
