THÉORIE D'UN GRILLAGE DE FILS PARALLÈLES

teur, s’il est entièrement entouré de métal, et c’est pourquoi on laisse, dans certains cas, une ouverture que l’on couvre d’un grillage de fils métalliques fins. Examinons quel effet produit ce grillage pour diminuer l'induction électrique. Nous supposerons le grillage formé d'une série de fils parallèles, situés dans un mème plan, à intervalles égaux, le diamètre des fils étant petit relativement à leur écartement, et, au contraire, la distance au grillage des corps électrisés d’une part, du conducteur protégé d'autre part, étant considérable relativement à l’écartement des fils.

204. À la distance 7’ de l'axe d’un fil rectiligne de longueur indéfinie, chargé d'une quantité d'électricité À par unité de longueur, le potentiel est

(1) V——2Àlogr'-..0C.

Nous pouvons exprimer ce potentiel au moyen de coordonnées polaires, dont l'axe est à une distance du fil égale à l'unité. Nous devons faire, dans ce cas,

(2) r°—r—2rcos8 — 1,

et, si nous supposons que l’axe lui-mème soit aussi chargé d'électricité à la densité linéaire À’, nous trouvons

(3) V=—Àlog(r— 2rcos0-:- 7?) — 2X'logr + C.

Si maintenant nous faisons (4) r = € ’ 0 --- ——,

d’après la théorie des fonctions conjuguées,

( 272 2KT HS Ir .

(5) V-:--) lou (: —e “cos no ie “ ) — al loge“ :i-C, où r et 7 sont des coordonnées rectangulaires. Et telle sera la valeur du potentiel dù à une série infinie des fils métalliques fins, parallèles à l’axe des 3 situés dans le plan des æ3, et passant par des points de l'axe des x, pour lesquels x est un multiple de a. Chacun de ces fils est chargé à la densité linéaire à.

Le terme où paraît À’ représente une charge produisant, dans la di- #

rection des y, une force constante ——.

La forme des surfaces équipôtentielles et des lignes de force est

donnée à la PI. ÆJIT, pour }'— 0. Près des fils, les surfaces équipotentielles sont presque cylindriques : nous pouvons donc regarder la solution comme approximativement vraie, quand les fils sont des cylindres ayant un diamètre fini, mais petit relativement à leur intervalle.

À une certaine distance des fils, les surfaces équipotentielles prennent des formes de plus en plus voisines des plans parallèles au plan du grillage.

Si dans l'équation nous faisons y — b,, quantité considérable rela- Livement à a, nous trouvons approximativement

tb ts * LS lin )+C.

(6) Vi=—

Si maintenant nous faisons y —— b,, où b, est une quantité positive très grande relativement à @, nous trouvons, approximativement.

(5) Vo 2= 47°: h'=-C.

Si c est le rayon des fils du grillage, c étant petit relativement à 4, nous pouvons trouver le potentiel du grillage lui-même, en supposant que la surface du fil coïncide avec la surface équipotentielle qui coupe le plan des æs à une distance c de l’axe des 5. Pour trouver le potentiel du grillage, nous faisons donc r — c et y — 0, d'où

(8) V2) 1logasin e + C.

205. Nous avons maintenant obtenu des expressions qui représentent l’état électrique d’un système formé d'un grillage de fils dont le diamètre est petit relativement à leur écartement, et de deux surfaces planes conductrices situées de part et d'autre du grillage, à des distances considérables relativement à l’'écartement des fils.

La densité superficielle 3, sur le premier plan se tire de l'équa-

tion (6),

(9) A1T71 = = — | (À —:— Mi:

Si maintenant nous posons

a . RC (11) 2=— À loge(asin )