THÉORIE D'UN GRILLAGE DE FILS PARALLÈLES

et si nous éliminons À et }’ entre les équations (6), (3),(8),(9),(r10), nous trouvons

b b r b Le De (12) TOURS )=Vi(re 2) Vi x (13) és ( bb. 2) Vi (: 2) VV

Si les fils sont infiniment fins, + devient infini, et les termes où il figure en dénominateur disparaissent, de sorte que le cas se ramène à celui de deux plans en présence, sans grillage interposé.

Si le grillage est en communication métallique avec l’un des plans, soit avec le premier, V :-= V,, et le second membre de l'équation en s se réduit à V,- -V,. Donc la densité o,, qui est induite sur le premier plan quand le yrillage est interposé, est à la densité qui aurait été induite en l'absence du grillage, le second plan étant dans les deux cas __Dibs 2(O1-- 02)

Nous serions arrivés à la mème valeur de l'effet produit par le grillage pour diminuer l'influence électrique de la première surface sur la seconde, si nous avions relié le grillage à cette seconde surface. Cela est évident, puisque b, et b, figurent de la même manière dans l'expression. C’est aussi une conséquence directe du théorème démontré au $ 88.

L'induction d’un des plans électrisés sur l’autre à travers le grillage est la mème que si, le grillage étant enlevé, la distance des plans était D; D.

maintenu au même potentiel, comme : est à 1 +

portée de b,-- bs à D, + b; +

Si les deux plans sont maintenus au potentiel zéro et que le grillage soit porté à un potentiel donné, la charge du grillage est à la charge que prendrait une surface plane de même aire comme D, 0, est à b,b:-- 2(b,-+ b:).

Ces résultats ne sont approchés que si D, et b, sont grands relativement à «, et si x est grand relativement à c. La quantité x est une lon- “ueur qui peut avoir une grandeur quelconque. Elle devient infinie quand c décroît indéfiniment.

Si nous supposons € — À a, il n’y aura plus d'ouvertures entre les ils du grillage, et, par suite, pas d’induction à travers. Nous devons donc avoir, dans ce cas, 2 := 0. Or la formule (11) donne

a A — —- - loge = — 0,11.

ce qui est évidemment faux, car, en aucun cas, un grillage ne pour- Tr. d'Electr. et de Magn., 1. 24

rait changer le signe de l'induction. Mais il est facile d'atteindre un degré d'approximation plus élevé, dans le cas d'un grillage à fils cylindriques. Je n'indiquerai que la marche à suivre pour arriver à ce résultaL.

Méthode d'approximation.

206. Puisque les fils sont cylindriques et que sur chacun d’eux la distribution est symétrique par rapport à un diamètre parallèle aux à, le véritable développement du potentiel est de la forme

(14) V= Glogr + EC;ri cost,

où r est la distance d'un des fils à l'axe, et 0 l'angle de r avec 3. Puisque le fil est un conducteur, V doit être constant quand on fait 7 égal au rayon. Donc les coefficients de tous les cosinus multiples de 6 doivent s’annuler.

Pour abréger, prenons de nouvelles coordonnées £, r,. ..., telles que

(15) af=2r2, ar =2T), ap=aorr, añ—=o2rb, ..…, et soit (16) Fg = log(ent8 + e- M+f} — 2 cost).

Si nous faisons

(17) V= AFF .— À: dr = A» —. ji

nous pourrons, endonnant des valeurs convenables aux coefficients À. exprimer tout potentiel qui est fonction de 7, et de cos ë, et qui ue devient infini que pour x, + 5 =-0 et COS £ = 1.

Si 8 — o, le développement de F en fonction de x et 6 est

(18) F,==2log5-:-Lptcos20 - 1, p*cos40 - ..... l'our des valeurs finies de $, le développement de F est

| une 0 6 (9) Fg=3-ralog(i—e-#)= 4 $ cos TT ARE

Dans le cas d'un grillage et de deux plans conducteurs dont les équations sont 7, = 4, etr:=— 8, l'équation du plan du grillage étant :=0, il v a deux séries infinies d'images du grillage. La première série le comprend lui-même avec une série infinie d'imases situces de part et d'autre de lui, toutes égales et semblablement électrisées.