DES INTÉGRALES SUR UNE SURFACE
point (x, y, 5), la condition exprime que le mouvement du fluide s'effectue sans rotation.
Si X, Y, Z représentent les composantes de la force au point (x, y, 5), la condition exprime que le travail accompli pendant le passage d’un point matériel d’une position à une autre est la différence des potentiels en ces deux positions, et cette différence a la même valeur pour tous les contours réductibles compris entre ces deux positions.
Des intégrales sur une surface.
21. Soient dS l'élément de surface, £ l'angle que fait avec la direction du vecteur R la normale menée à la surface du côté positif de cette surface. Alors f fR cose dS est appelé l'intégrale de R sur la surface $.
THÉORÈME JT. — L'intégrale d'un flux à travers une surface fermée peut s'exprimer par l'intégrale de sa convergence étendue à tout le volume compris à l’intérieur de la surface (voir p. 25).
Soient X, Y, Z les composantes de R; /, m1, n les cosinus des angles formés avec les axes par la normale à $ dirigée vers l’intérieur de cette surface. L'intégrale de R sur la surface S est
[res as = ffstas + [ [Nm as + [ [an as L [fs as de + f [ras def fade ay.
les valeurs X, Y, Z étant celles en un point de la surface, et les intégrations s'étendant sur toute la surface.
Si la surface est fermée, pour des valeurs données de y et 3, la coordonnée x doit avoir un nombre pair de valeurs; car une ligne parallèle à x, dès l'instant qu'elle rencontre la surface, doit pénétrer dans l'espace renfermé et en sortir un même nombre de fois.
Considérons un point allant de x = — œ à x — + ; il pénètre dans
l'espace pour la première fois pour x —:r,, en sort pour x — z,, et ainsi de suite; et soient X,, X,, ... les valeurs de X en ces points : alors
o) [fx dy 3 = [ [LD + (xs) 4e (Nan—en1)] dy ds.
Si X est une quantité continue et n’a pas de valeurs infinies entre d'; et Te;
FX 13) Mk f ar.
l'intégration s'étendant de r, à r,, c'est-à-dire le long du premier segment de z compris à l’intérieur de la surface fermée. Et tenant compte de tous les segments qui sont compris à l'intérieur de la surface fermée, nous trouvons
(4) [ [x à: = [f À ax dy ds,
l'intégrale double étant limitée à la surface fermée, et l'intégrale triple étant au contraire étendue à tout le volume compris à l'intérieur de cette surface. Donc, si X, Y, Z sont continus et finis à l’intérieur d'une surface fermée, l'intégrale de R sur cette surface complète sera
(5) ffreosas = [[[(R+S +7: +5) de r dy ds,
l'intégrale triple étant étendue à tout le volume intérieur à S. Supposons maintenant que X, Ÿ, Z ne soient pas continus à l'intérieur de la surface fermée; mais que, sur une certaine surface F(x, 7,3) =, les valeurs de X, Y, Z sautent brusquement de X,Y,Z sur le côté négatif à X’, Y’, Z' sur le côté positif de la surface. Si cette discontinuité se présente entre , et æ:, par exemple, la valeur de X, — X, sera
: + 9X 16) [ Si ar+ (xx), où l’on ne doit considérer dans l'expression sous le signe /que les va-
leurs finies de la dérivée de X.
Donc, dans ce cas, l'intégrale de R sur la surface fermée sera exprimée par
Jr ds — SITE D+x) dr r dy ds
(7) { RATE | # [ [0 Yasar + [ [2478
ou bien, si l',m',n! sont les cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité, et dS' un élément de cette surface,
Re SITE — = Le es )de x dy d3
n Î [ LC X)E mm je n'(L'—2)}d5’,
