THÉORIE DU PLAN D ÉPREUVE

néral, de la grandeur de la force résultante, et celle-ci de la densité superficielle. Donc, puisque nous supposons que le conducteur n’est pas électrisé à un potentiel assez élevé pour décharger de l'électricité par tous les points de sa surface, il ne passera point d’étincelle entre le petit corps et une partie de la surface où nous avons montré qu'il

x a une plus faible densité superficielle.

224. Nous allons maintenant considérer différentes formes du petit Corps. -

Supposons que ce soit une petite hémisphère, disposée de façon à toucher le conducteur par le centre de sa face plane.

Supposons que le conducteur soit une grande sphère et modifions la forme de l'hémisphère, de facon que sa surface soit un peu plus d'une demi-sphère, et rencontre la surface de la sphère à angle droit. Nous nous trouvons alors dans un cas pour lequel nous avons déjà obtenu la solution exacte (voër 167).

Si À et B sont les centres de deux sphères se coupant à angle droit, DD' le diamètre du cercle d’intersection et C le centre de ce cercle: si V est le potentiel d'un conducteur dont la surface extérieure coïncide avec celle des deux sphères, la quantité d'électricité qui se trouve sur la surface libre de la sphère À est

1V(AD + BD — AC -- CD — BC), et celle qui se trouve sur la surface libre de la sphère B est 1V(AD + BD -- BC — AD — AC), el la charge totale est la somme des deux, soit V(AD -. BD— CD)

Si 2 et 3 sont les rayons des deux sphères, et si x est grand relativement à 8, la charge de B est à celle de À dans le rapport de 3 6? I 2 — fire D +. a 1.

Or, soit 5 la densité superficielle uniforme de A, lorsque B est enlevé, la charge de A est

ou, si 8 est très pelit en comparaison de 2, la charge de l'hémisphère B est égale à trois fois la charge due à la densité © régnant sur une aire égale à la base circulaire de l'hémisphère.

Il résulte du n° 175 que si une petite sphère est amenée au contact d'un corps électrisé, puis éloignée de lui, la densité superficielle movenne sur cette sphère est à la densité superficielle du corps au point de contact comme +? est à 6, ou comme 1,645 est à 1.

295. La forme la plus convenable pour un plan d'épreuve est celle d'un disque circulaire. Nous allons donc montrer comment on peut mesurer la charge d’un disque circulaire placé sur une surface tlectrisée.

À cet effet, nous allons combiner une valeur de la fonction potentielle, telle qu'une des surfaces équipotentielles ressemble à une protubérance circulaire aplatie, et présente la forme générale d'un disque posé sur un plan.

Soit s la densité superficielle sur un plan que nous supposerons être celui des zy.

Le potentiel dù à cette distribution sera

V—— ire.

Soient deux disques de rayon «, ayant des charges électriques invariablement placées, de densité superficielle — 5’ et -: 5’. Placons le premier de ces disques sur le plan des y, son centre à l'origine ; et le second disque parallèlement au premier à une très petite distance «.

On peut démontrer, ainsi que nous le verrons dans la théorie du magnétisme, que le potentiel de deux disques sur un point quelconque est w9/c, w étant l'angle solide sous-tendu au point considéré par le contour de l’un ou l'autre des disques. Donc le potentiel de l'ensemble du système sera

V=— 4735 -- 3 Cu.

La forme des surfaces équipotentielles et des lignes d'induction est donnée sur le côté gauche de la PL. EF, à la fin du Volume IT.

Tracons la forme de la surface pour laquelle V —o : elle est indiquée par la ligne poiutillée.

Désignant par 7 la distance d'un point quelconque à l'axe des x, lorsque r est beaucoup plus petit que &, et que 3 est pelil, nous trou-

ons