OX OY 90Z

(o. — — — 9) 0x dy 03

et si, sur chacune des surfaces où ils sont discontinus, (10) l'X'+mY+nlL'=lXmY+nz, l'intégrale sur une surface fermée quelconque est nulle, et l’on dit que la distribution du vecteur est solénoïdale. Nous désignerons Féquation (9) sous le nom de condition solé-

noidale générale, et l'équation (10) sous le nom de condition solénoidale à la surface.

22. Considérons maintenant le cas où, pour tous les points intérieurs à la surface S, l'équation

OX OY 9Z 0x dy 02

est satisfaite en même temps que X, Ÿ et Z sont continus. La conséquence en est que l'intégrale sur la surface fermée est égale à zéro.

Or supposons que la surface fermée S soit formée de trois parties S15 So et S3; que S, soit une surface de forme quelconque limitée par une ligne L,, et que $, soit formée en menant de tous les points de L, des lignes dans la direction de R. Si /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale en un point quelconque de la surface S,,

(12) Rcose = Xl Ynm+Zn=o.

Donc les éléments de l'intégrale correspondant à cette surface $,

sont nuls.

Soit S, une autre surface de forme quelconque, limitée par la courbe L, suivant laquelle elle rencontre la surface $,.

Soient Q;, Q,, Q les intégrales sur les surfaces S,, S, et S;, et soil Q l'intégrale de surface sur la surface fermée S. Alors (13) Q = Qi-- Qo+ Qo = 0.

el nous savons que

(14) Qo = O: , donc (13) Q3 —— Q,,

c'est-à-dire que l'intégrale sur S, est égale et de signe contraire à l'intégrale sur S,, quelles que soient la forme et la position de S;, pourvu que la surface intermédiaire $, soit constamment tangente à KR.

Si nous supposons que L, soit une courbe fermée d’aire peu considérable, $, sera une surface tubulaire jouissant de cette propriété, que l'intégrale prise sur une section quelconque du tube est constante.

Tout l'espace intérieur à la surface S peut ètre divisé en tubes de celle nature, pourvu que (16) — 0 -- — —=09; | LA à 1° 05 une distribution d'une quantité vectorielle satisfaisant à cette condiuon est appelée distribution solénoïdale.

Des tubes et des lignes de flux.

Si l'espace est divisé en tubes, de facon que l'intégrale sur une section quelconque de chaque tube soit l'unité, les tubes sont appelés tubes unités, et l'intégrale prise sur une surface finie S, limitée par une courbe fermée L, est éxale au nombre de ces tubes qui traversent la surface S dans le sens positif, ou, ce qui revient au mème, qui passent à travers la courbe fermée L.

Donc l'intégrale sur S ne dépend que de la forme de sa limite L, et non de la forme de la surface à l’intérieur de cette limite.

Des régions périphractiques.

Si, dans toute l'étendue d’une région limitée extérieurement par une seule surface fermée $,, la condition solénoïdale

ar ! dy mA

est satisfaite, l'intégrale prise sur une surface fermée quelconque intérieure à la région est nulle, et l'intégrale prise sur une surface limitée, intérieure à la région, ne dépend que de la forme de la courbe fermée qui sert de limite.

Mais ces résultats ne sont pas vrais en général, si la région pour laquelle la condition solénoïdale est satisfaite est limitée autrement que par une surface unique.

Car, si elle est limitée autrement que par une seule surface continue, l'une des surfaces limites est la surface extérieure; les autres

DES RÉGIONS PÉRIPHRACTIQUES. 29

sont les surfaces intérieures, el la région S est périphractique puisqu'elle renferme d'autres régions qu'elle entoure entièrement.

Soit S, une de ces régions entourées, pour laquelle la condition solénoïdale n'est pas satisfaite, et soit

Q; — ff R cos: 45,

l'intégrale de surface pour la surface qui limite cette région; soient Q:, Q3, ... des quantités correspondantes pour les autres régions englobées.

Si une surface fermée S’ est tracée à l’intérieur de la régions, l’intécrale correspondante ne sera égale à zéro que si cette surface S'ne renferme aucune des surfaces englobées $S,, S;, .... Si elle en renferme quelques-unes, son intégrale de surface est la somme des intégrales de surface pour les différentes surfaces englobées qu'elle comprend.

Pour la mème raison, l'intégrale prise sur une surface limitée par une courbe fermée n'est la mème, pour d’autres surfaces limitées par la mème courbe, que si les surfaces sont réductibles à la surface donnée par un mouvement continu à l’intérieur de la région S.

Quand nous avons à nous occuper d'une région périphractique, la première chose à faire est de la ramener à être apériphractique, en menant des lignes qui joignent les différentes surfaces limites. Chacune de ces lignes, pourvu qu’elle ne relie pas deux surfaces qui sont déjà en communication continue, réduit d’une unité le nombre périphractique; en sorte que le nombre total des lignes à tracer poùr faire disparaître la périphraxie est égal au nombre périphractique, ou au nombre des surfaces intérieures.

Quand ces lignes ont été menées, nous pouvons aflirmer que, si la condition solénoïdale est satisfaite dans la résion $S, toute surface fermée, tracée à l'intérieur de la région et ne coupant aucune des lignes, donne lieu à une intégrale nulle.

En menant ces lignes, nous devons nous souvenir que toute ligne joignant des surfaces déjà reliées ne diminue pas le nombre périphractique, mais augmente le nombre cyclomatique.

L'exemple le plus familier d'une région périphractique, à l'intérieur de laquelle la condition solénoïdale est satisfaite, est la région qui entoure une masse exerçant une attraction ou une répulsion inversement proportionnelle au carré de la distance.

Nous avons dans ce cas

« étant la masse supposée placée à l'origine des coordonnées. En un point quelconque à distance finie 7!

o\ | NN 9Z or (2 y =

mais à l'origine ces quantités deviennent infinies. Pour toute surface fermée ne renfermant pas l'origine, l'intégrale de surface est nulle; si la surface fermée renferme l'origine, l'intégrale de surface est 47-12.

Si. pour une raison quelconque, nous voulons traiter une région entourant : comme si elle n'était pas périphractique, nous devrons tracer une ligne de u à l'infini, et nous souvenir, en prenant les intégrales sur une surface fermée, qu'il faut ajouter 471 toutes

les fois que cette ligne passe du côté négatif au côté positif de la surface 1 !).

Des relations dextrogyres et lévogyres dans l'espace.

23. Dans ce Traité, on admet que les mouvements de translation suivant un axe, ou de rotation autour de cet axe, sont de même signe lorsque leurs directions correspondent aux mouvements de translaion et de rotation d'une vis ordinaire, ou vis à droite (°?).

{') En effet, une surface renfermant l'origine est réductible à une sphère ayant celle-ci pour centre, et de rayon R petit, mais fini; pour tous les points de cette m nn 1: .dS ue — 2: — = T et (IX -— mY —nzZ) se réduit à ee » dont l'intégrale

IT + est À f f' dS ou 472. (P.) TEA LE

(?) L'action combinée des muscles du bras, lorsque nous tournons en dehors le dessus de la main droite, cn mème temps que nous tendons la main en avant, grave dans la mémoire, mieux que toute définition, la nature du mouvement d’une vis à droite. Un tire-bouchon ordinaire peut servir de symbole matériel de ce mème mouvement.

Le professeur W.-N. Miller m'a fait observer que les vrilles de la vigne sont enroulées à droite et celles du houblon à gauche, et que l'on pourrait appeler les deux systèmes de rotations dans l'espace système de la vigne et système du houblon.

Le système de la vigne, que nous adoptons, est celui de Linaé et celui des fabricants de vis dans tous les pays civilisés, sauf le Japon. De Candolle est le premier qui a appelé vrilles à droite les vrilles du houblon; en cela il a été suivi par Listing et par la plupart de ceux qui ont écrit sur la polarisation rotatoire de la lumière. Des vis faites comme les vrilles de houblon servent pour relier entre vux les wagons de chemins de fer ct pour fixer les roues de gauche des voiture: ordinaires: mais ceux qui les emploient les appellent toujours vis à gauche.

.… dd sphère. - —