DES RELATIONS DEXTROGYRES ET LÉVOGYRES DANS L'ESPACE
Par exemple, si l'on compte positivement la rotation effective de la Terre de l’ouest à l’est, la direction positive sur l’axe de la Terre est prise du sud au nord; pour un homme qui marche droit devant lui dans la direction positive, la rotation positive s'effectuera, en partant de la tête, par la main droite, les pieds et la main gauche.
Si nous nous placons nous-mêmes sur une surface, du côté positif, le sens positif sur une courbe qui limite cette surface sera inverse du sens du mouvement des aiguilles d'une montre dont la face est tournée vers nous.
Tel est le système « à droite » adopté dans la Watural Philosophy de Thomson et Tait, $ 243; le système opposé, ou système « à gauche », est adopté dans les Quaternions de Hamilton et de Tait. L'opération qui consiste à passer d'un système à l’autre est appelée par Listing perversion.
L'image d’un objet vu par réflexion dans un miroir est une image perversée de cet objet.
Quand nous emploierons des axes de coordonnées cartésiennes T, Y, 3, nous les tracerons de facon que la convention ordinaire sur l’ordre de succession des symboles nous conduise dans l’espace à un système de directions à droite.
L'aire des surfaces sera comptée positivement si l'ordre d’intégration est conforme à l’ordre de succession des symboles. Ainsi l’aire
d'une courbe fermée tracée dans le plan des æy,.qui est | [ da dy,
fx ar ou — fr ar,
l'ordre d'intégration étant x, y dans le premier cas, et y, dans le second.
La relation entre les deux produits dr dy et dy dx peut se comparer à la relation qui existe, dans la théorie des quaternions, entre les produits de deux vecteurs perpendiculaires l’un à l’autre, produits dont le signe dépend de l’ordre de multiplication, ou à l'inversion du
peut s’écrire
LE
signe dans un déterminant où l’on échange entre elles deux lignes ou colonnes consécutives.
Pour la mème raison, une intégrale de volume doit ètre comptée positivement si l’ordre d'intégration est l’ordre de succession des variables x, y, 5, et négativement si l’ordre de succession est renversé.
Nous allons maintenant établir un théorème fort utile, en ce qu'il établit une relation entre une intégrale prise sur une surface limitée et une intégrale prise le long de ses limites.
2%. Taéorëue IV. — Une intégrale prise le long d’une courbe fermée peut s'exprimer au moyen d'une intégrale prise sur une surface avant la courbe pour limite.
Soient X, Y, Z les composantes d'un vecteur A, dont l'intégrale doit ètre prise le long d'une courbe fermée s.
Soit S une surface continue et finie quelconque, entièrement limitée par la courbe s, et soient £, r,, % les composantes d’un autre vecteur $, liées à X, Y, Z par les équations OZ oY OX 0
(1 EI — — } * dy 03° ! 5 or?
Je dis que l'intégrale de surface de 8, prise sur la surface S, est
égale à l'intégrale de ligne de 3, prise le long de la courbe s. Il est
clair que 6, r,, * satisfont d'eux-mèmes à la condition solénoïdale
Soient /, m, n les cosinus directeurs de la normale à un élément de surface dS comptée dans la direction positive. Alors la valeur de l'intégrale de surface de 8 peut s'écrire
(2) f (UE mr + nt) ds.
Pour nous faire une idée exacte de ce qu'il faut entendre par l'élément de surface dS, nous allons supposer que les valeurs des coordonnées x, }, : soient données pour chaque point de la surface en fonction de deux variables indépendantes z et 3. Si, B restant constant, z varie, le point (x, y, :) décrit une courbe sur la surface; et si l'on donne à 8 une série de valeurs, une série de pareilles courbes seront décrites, toutes situées sur la surface S. De mème, si l’on donne à x une série de valeurs constantes, on tracera une deuxième série de courbes coupant la première série et divisant toute la surface en parties élémentaires, dont une quelconque peut être prise pour représenter l’élément dS. |
La projection de cet élément sur le plan des y: est, d’après la formule ordinaire, qui donne la surface d’un parallélogramme infiniment petit,
(3) lds=(r 2% UN
0z 08 03 0x d3 di.
Les expressions de m dS et de n dS se déduiront de celle-ci par une permutation circulaire.
