DES SYSTÈMES DE CONDUCTEURS LINÉAIRES, EN GÉNÉRAL
électromotrice intérieure, s’il y en a une, qui agit le long du conducteur de A, vers Ày.
L'intensité, de À, vers À,, est, d'après la loi de Ohm,
Parmi ces quantités nous avons les séries de relations suivantes :
La conductibilité d'un conducteur est la même, quelle que soit la direction du courant, c'est-à-dire
(2) Kpg = Kgp:
La force électromotrice et l'intensité sont des quantités dirigées, de sorte que
(3) Epg= — Egp € Cp = — Cp.
Soient P;,, P,, ..., P, les potentiels en A,, A:, ..., A,; et soient Q;, Qs, ..., Q, les quantités d'électricité qui pénètrent dans le système, dans l'unité de temps en chacun de ces points. Elles sont forcément soumises à la condition de continuité
(4) Qi+ Qi+...+0Q,=o,
car l'électricité ne peut ni s'accumuler, ni se produire indéfiniment dans le système.
La condition de continuité en un point A, est
(2) Q, = COpi+ Opr+ + Cpne
Substituant ces valeurs des intensités dans les termes de l'équation (1), elle devient
(6) Q»p == (K pi 7 K p2 -. 7 Kpn)P p—(Kpi Pi--K po Ps +. + KpnPn) = (K pi Ep — K p2 Epa + + Kpn Epn).
Le symbole K,, ne parait pas dans cette équation. Donnons-lui Îa valeur
(7) Kpp=—(Kp;+ Kp2 +... + Kpn),
c’est-à-dire supposons que K,, soit égal et de signe contraire à la somme des conductibilités de tous les conducteurs qui se rencontrent en À,. Nous pouvons alors écrire l'équation de continuité pour le point À, 8 KnPi+ KpaPa+ se + KopPp+ + KpnPa
Ù = KmEm+ ee. + KpnEpn— Qp
En substituant 1,2, ...,n à P; dans cette équation, on obtient n équations de mème forme, au moyen desquelles on peut déterminer les n potentiels P,, P,, ..., P,.
Mais, si nous ajoutons les équations du système (8), le résultat est identiquement nul, d'après (3), (4) et (3); il n’y a donc que r —1 équations indépendantes, qui suffiront pour déterminer les différences de potentiel des points, mais non le potentiel absolu d'aucun deux. Cette connaissance n’est d’ailleurs pas nécessaire pour calculer les in- Lensités du système.
Si nous désignons par D le déterminant
K:1: Ki: .. Kiçn-1) (9) nn e
K,»-11 Kin-s,2 .….. Kn-1çe-1) | et par D, le mineur de K,,, nous trouvons pour valeur de P,— P,
(P,— Ph)D = (Ki2 E12+. ..— Q:1)Dh1+ (Kai Es, ——. . —Qs)Dp2—. . + (Ka: Es: —+ + Kyn Egn — Qu)D y + ...
(to)
On déterminerait de même l'excès de potentiel d’un autre point quelconque A, sur le potentiel de A,. On peut donc déterminer, par l'équation (1), l'intensité entre A, et À,, et le problème est complètement résolu.
281. Nous allons démontrer une propriété réciproque de deux conducteurs quelconques d’un système qui correspond à la propriété réciproque déjà démontrée en Electricité statique (voir $ 88).
Le coefficient de Q, dans l'expression de P, est TE - Celui de Q,,
Don.
Or D,, ne diffère de D,, que par la substitution des symboles, tels que K,, aux symboles K,,. Mais ces deux symboles sont égaux, d’après l'équation (2), puisque la conductibilité d'un conducteur est la même dans les deux sens. Donc
dans l'expression de P,, est
Il résulte de là que la partie du potentiel de À, qui est due à l'entrée d'un courant d'intensité 1 en À, est égale à la partie du potentiel de À, qui est due à l'entrée d'un courant d'intensité 1: en À.
