RÉSISTANCE ET CONDUCTIBILITÉ DANS L'ESPACE À TROIS DIMENSIONS

Des relations les plus générales entre l'intensité et la force électromotrice.

297. Soient w, # et w les composantes de l'intensité en un point quelconque.

Soient X, Ÿ, Z les composantes de la force électromotrice.

La force électromotrice en un point est la force résultante qui agit sur une unité d'électricité positive placée en ce point; elle peut être due :

1° À une action électrostatique, auquel cas, V étant le potentiel, on a

2° À l'induction électromagnétique dont les lois seront examinées plus loin; °

3° À une action thermo-électrique ou électrochimique en ce point mème, tendant à produire un courant de direction donnée.

Nous supposerons, en général, que X, Ÿ, Z représentent les composantes de la force électromotrice résidant au point donné, quelle que soil l'origine de cette force; et nous examinerons, en particulier, ce que l'on obtient en supposant la force électromotrice uniquement due à une différence de potentiels.

D'après la loi de Ohm, l'intensité est proportionnelle à la force clectromotrice. Donc X, Y et Z doivent être des fonctions linéaires de u, “ets. Nous pouvons donc prendre comme équations de résistance | X == Riu + Qse + Pow,

Y = P,u-- Rise — Qi,

Z = Qu — P,v — R; .

Nous pouvons appeler les coefficients R coefficients de résistance loncitudinale dans la direction des axes de coordonnées; et les coeflicients P et Q coefficients de résistance transversale; ils indiquent la

force électromotrice qui doit agir dans une direction pour produire un courant dans une autre direction.

Si nous sommes libres de supposer qu'un solide peut être traité comme un système de conducteurs linéaires, il est aisé de faire voir, d'après la propriété réciproque de deux conducteurs d’un système linéaire ($ 281), que la force électromotrice dirigée suivant les 3, qui est nécessaire pour donner l'unité d'intensité parallèlement aux y, est égale à la force électromotrice parallèle aux y nécessaire pour donner l'unité d'intensité dans la direction des 5. Cela revient à démontrer que P,— Q,, et de mème que P;— Q, et P;,— Q,. Si ces conditions sont satisfaites, on dit que le système des coefficients est symétrique. Si elles ne le sont pas, on dit que le système est gauche.

Nous avons de fortes raisons de croire que le système est symétrique dans tous les cas qui se présentent en réalité; mais nous examinerons quelques-unes des conséquences qui résulteraient de lhypothèse d'un système gauche.

298. Les quantités u, s, « peuvent s'exprimer comme fonctions linéaires de X, Ÿ, Z, par un système d'équations que l'on peut appeler équations de conductibilité,

u = riX+p;sY+gqs:2, (5) 0 = gq3X + r2YŸ+p12,

4 = peX + qiY + r:2.

Nous pouvons appeler les coefficients r coefficients de conductibilité longitudinale, et les coefficients p et g coeflicients de conductibilité transversale.

Les coefficients de résistance sont les inverses des coefficients de conductibilité. Cette relation peut être définie comme il suit :

Soient [PQR] le déterminant des coefficients de résistance et [pgr] celui des coefficients de conductibilité.

Alors

(4) [PQR]=PiP2P3+Q1Q2Q3+RiRa Ra PiQiRi—P2Q2 Re P3Q3 Rs. (5) [pqgr] =pipips+ giqaqs+ lirars — piqili— pas: — Par, (6) [PQRJLpgr] =1,

(7) [PQR]pi=(P2P3— Qi), [pgr]Piz (psps-— qiri),

Les autres équations s'obtiennent en faisant une formalion circulaire des symboles P, Q, R, p, q, r, et des indices 1, 2 et 3.