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Mais, puisque ou dv dw
(29) x TG
le troisième terme s’annule en vertu des conditions aux limites. Le premier terme de (28) est donc l’unique minimum de W.
305. Comme cette proposition a une grande importance dans la théorie de l'électricité, il peut être utile de donner la démonstration
suivante du cas le plus général, sous une forme exempte d'opérations analytiques.
Considérons la propagation de l'électricité dans un conducteur de forme quelconque, homogène ou hétérogène.
Nous savons que :
1° Une ligne, menée suivant la direction et dans le sens du courant, va des points où le potentiel est plus élevé à ceux où il est moins élevé.
2° Si en tous les points du système le potentiel est changé dans le même rapport, l'intensité est changée dans le mème rapport : c'est l1 loi de Ohm.
3° Si une certaine distribution des potentiels donne lieu à une cerlaine distribution des intensités, et si une autre distribution des potentiels donne une autre distribution des intensités, une troisième distribution où le potentiel est la somme ou la différence des poten- Liels dans la première et la seconde distribution donne lieu à une distribution des intensités telle que l'intensité du courant qui, dans ce troisième cas, passe à travers une surface finie donnée, est égale à la somme ou à la différence des intensités des courants qui traversent celte surface dans le premier et le second cas. Car, d’après la loi de Ohm, lintensité additionnelle due à une variation des potentiels ne dépend pas de l'intensité primitive due à la distribution primitive des potentiels.
4° Si le potentiel est constant sur l’ensemble d'une surface fermce ne renfermant ni électrodes, ni forces électromotrices intérieures, il n’y a point de courant à l'intérieur de la surface fermée, et le potentiel en un point intérieur quelconque est égal au potentiel sur la surface.
En effet, s’il y a des courants à l'intérieur de la surface fermée, il< décrivent des courbes fermées, ou bien ils commencent et finissent en des points situës à l'intérieur de la surface ou sur cette surface.
Mais, puisque les courants passent toujours des points où le potentiel est plus élevé aux points où le potentiel est moins élevé, ils ne peuvent décrire des courbes fermées.
Puisqu'il n'y a point d'électrodes à l'intérieur de la surface, le courant ne peut commencer ni finir en un point intérieur de la surface ; puisque le potentiel est le même en tous les points de la surface, il ne peut y avoir de courant suivant des lignes tracées d'un point à un autre de la surface.
Donc, il n’y a point de courants à l'intérieur de la surface, et, par suite, pas de différence de potentiels; car une pareille différence dou-
nerait lieu à des courants. Donc, le potentiel en tous les points intérieurs est le mème que sur la surface fermée.
9 Sil n'y a point de courant électrique qui traverse une partie quelconque de la surface fermée, et s’il n'y a à l’intérieur de cette surface ni électrodes, ni forces électromotrices intérieures, il n’y a point de courant dans la surface, et le potentiel y est partout le même.
6° Si le potentiel est uniforme sur une partie d’une surface fermée, et qu'il ne passe point de courant à travers le reste de la surface, le potentiel à l'intérieur de la surface est uniforme pour les mêmes raisons.
7° Si l’on connait le potentiel pour chacun des points d’une partie d'une surface fermée et l'intensité du courant qui traverse la surface en chacun des points du reste de cette surface, il ne peut exister pour les points intérieurs du corps qu’une seule distribution des potentiels.
Car, si pour un point quelconque intérieur au corps il y avait deux valeurs, dont V, füt la première et V, la seconde, nous pouvons concevoir un troisième cas daus lequel le potentiel de chaque point sera l'excès de la première valeur sur la seconde. Pour la partie de la surface où l’on connaît le potentiel, le potentiel deviendra nul dans ce troisième cas; de mème, l'intensité sera nulle pour les autres parties de la surface; par suite, d’après (6). le potentiel sera nul pour tout point à l'intérieur de la surface : il ne doit donc point exister de différence entre V, et V.. Il n’y a donc qu'une seule distribution des potentiels possible. Cette proposition est vraie, que le solide soit limité par une ou par plusieurs surfaces fermées.
Calcul approché de la résistance d'un conducteur de forme donnée.
306. Le conducteur que nous considérons ici a sa surface partagée en trois portions : sur l’une, le potentiel est maintenu à une valeur constante; sur l’autre, il a une valeur constante différente de [a première; tout le reste de la surface est impénétrable à l'électricité. Nous pouvons supposer que l’on remplit les conditions relatives à la première et à la seconde partie, en appliquant sur le conducteur deux électrodes faites d’une substance parfaitement conductrice, et celle qui est relative au reste de la surface, en le couvrant d’une couche de matière parfaitement isolante. |
Dans ces conditions, l'intensité en chaque point du couducteur est proportionnelle à la différence des potentiels aux électrodes. Appelant cette différence force électromotrice, l'intensité totale de l'une des
Tr. d'Élect. et de Magn., I. 31
électrodes à l’autre est le produit de la force électromotrice par la conductibilité du conducteur entier, et la résistance du conducteur est l'inverse de sa conductibilité. |
C'est seulement quand un conducteur se trouve à peu près dans les conditions ainsi définies que l’on peut dire que, pris dans son ensemble, il a une résistance ou une conductibilité déterminée. Une bobine de résistance, formée d'un fil fin se terminant par de grosses masses de cuivre, satisfait à peu près à ces conditions; car le potentiel est sensiblement constant dans ces électrodes massives, les différences de potentiels qui peuvent exister entre les différents points d'une même électrode pouvant être négligées devant la différence des potentiels aux deux clectrodes.
Une méthode très utile pour calculer la résistance de pareils conducteurs a été donnée pour la première fois, à ma connaissance. dans un Mémoire de lord Rayleigh sur la Théorie de la Résonance (!).
Elle est fondée sur les considérations suivantes : si la résistance spécifique d’une partie du conducteur change, celle du reste du conducteur demeurant invariable, la résistance du conducteur total ausmente ou diminue, suivant que la résistance de cette partie augmente ou diminue.
Ce principe peut être considéré comme évident ; il est aussi aisé de faire voir que la valeur de lexpression qui donne la résistance d‘uu système de conducteurs entre deux points choisis comme électrodes croît à mesure que croît la résistance de chacun deséléments du système.
Il résulte de là que si, dans la masse du conducteur, nous tracons une surface de forme quelconque, et si nous supposons que cette surface soil une nappe infiniment mince, formée d’une substance parfaitement conductrice, la résistance du conducteur total sera diminuée. à moins que la surface ne soit une surface équipotentielle lorsque le corps est dans son état naturel; car alors, cette surface étant déjà en équilibre électrique, aucun effet ne sera produit quand on la rendra parfaitement conductrice.
Tracons donc dans l’intérieur du conducteur une série de surfaces la prèmière coïncidant avec la première électrode, la dernière avec la seconde électrode, les surfaces intermédiaires étant limitces par la surface non conductrice et ne se coupant point les unes les autres ; supposons que chacune de ces surfaces suit une nappe infiniment
(‘) Pluil. Trans., 1831.
mince, d’une substance parfaitement conductrice. Nous aurons ainsi constitué un système dont la résistance n'est certainement pas supérieure à la résistance du conducteur proposé, et ne lui devient égale que si les surfaces que nous avons choisies sont les surfaces équipotentielles naturelles.
Mais calculer la résistance du système artificiel est une opération bien plus aisée que le problème primitif; car la résistance de l’ensemble est la somme des résistances de toutes les couches comprises entre les surfaces successives, et l’on peut trouver, ainsi qu'il suit, la résistance de chaque couche. ‘ Soient
dS un élément de surface de la couche,
l'épaisseur de la couche perpendiculairement à cet élément,
2 la résistance spécifique,
E la différence de potentiels des deux surfaces parfaitement conductrices,
dC l'intensité du courant qui passe à travers dS ;
alors
(1) dc =E-- 48, Ev
et l'intensité du courant tolal qui traverse la couche est
(2) C=Eff<as, | ÎJ >
l'intégration s'étendant à toute la couche limitée par la surface nou conductrice du conducteur.
D'où la conductibilité de la couche est
et la résistance de la couche est l'inverse de cette quantité. Si la couche est limitée par deux surfaces pour lesquelles une fonction F a des valeurs FetF+4F,ona | dE gp [ (26) (EN (ET (1) y =vr-[(5) 7 (1) 4 | 33)
et la résistance de la couche est dF
(5) | [. LTFaS ?
Pour trouver la résistance de l’ensemble du conducteur, nous n’avons qu’à intégrer par rapport à F, et nous trouvons
dF (6) R;, = Fri.
J 2 SFAS
La résistance R du conducteur, dans son état naturel, est plus grande que la valeur ainsi trouvée, à moins que les surfaces choisies ne soient les surfaces équipotentielles naturelles. D'ailleurs, comme la vraie valeur de KR est le maximum absolu des valeurs de R, et peut être ainsi obtenue, une légère différence entre les surfaces choisies et les surfaces équipotentielles exactes ne produira sur R qu'une erreur comparativement faible.
Cette méthode pour déterminer une limite inférieure de Ia valeur de la résistance est évidemment d'une généralité parfaite, et peut s'appliquer à des conducteurs de forme quelconque, lors même que la résistance spécifique p varierait d'une manière quelconque dans l'intérieur du conducteur.
L'exemple le plus familier de cette méthode est la facon dont on détermine habituellement la résistance d’un fil métallique tendu, de section variable, Dans ce cas, les surfaces que l'on choisit sont des plans perpendiculaires à Faxe du fil; les couches ont des faces parallèles, et la résistance d’une couche de section S et d'épaisseur ds est
et la résistance de tout un fil de longueur s est (8) R; = — 9
S étant la section transversale, laquelle est fonction de s.
Dans le cas des fils dont la section varie lentement avec la longueur, cette méthode donne des résultats très voisins de la vérité; mais ce n'est, en réalité, qu'une limite inférieure, et la résistance vraie est toujours plus grande, sauf dans le cas où la section est parfaitement
uniforme.
307. Pour trouver une limite supérieure de la résistance, supposons que l'on trace dans le corps une surface et qu'on rende cette surface impénétrable à l'électricité. L'effet sera d'augmenter la résistance du conducteur, à moins que la surface ne soit une surface naturelle de
flux. Au moyen de deux systèmes de surfaces, nous pouvons former une série de tubes qui déterminent complètement le flux; et l'effet de ce système de surfaces impénétrables, s'il y a un effet produit, est d'accroître la résistance du conducteur au delà de sa valeur naturelle.
La résistance de chaque tube peut être calculée par la méthode que l'on a donnée pour un fil fin, et la résistance du conducteur est l'inverse de la somme des inverses des résistances de tous les tubes. La résistance ainsi trouvée est plus grande que la résistance véritable, à moins que les tubes ne suivent les lignes naturelles de flux.
Dans le cas déjà considéré d’un conducteur en forme de solide de révolution allongé, comptons les x suivant l'axe, et soit b le rayon de la section faite en un point quelconque. Prenons pour l’une des séries de surfaces impénétrables des plans passant par l'axe, pour chacun desquels © est constant; pour l'autre, des surfaces de révolution, pour lesquelles
(9) = ÿbt,
Y étant une quantité numérique comprise entre o et 1.
Considérons une portion de tube limitée par les surfaces o et » + do, d et Ÿ + dÙ, et x et x + dr.
La section du tube perpendiculaire à l'axe est
(10) 7 dyde = 16? d4 de.
Si 6 est l’angle du tube avec l’axe
(11) tang0 — 42
La vraie grandeur de l'élément de tube est dr sécô, et sa vraie section est
18?d4 do cos, de sorte que Îla résistance est dr | dx db \?
nn "7 — séct0 — TT — — .
(12) 2 p Bras dj séc?0 — 2p bide dy [i+4(2) | Soient
(13) A=f£ dr, B=fA(S) de
l'intégration s'étendant à toute la longueur x du conducteur; alors la résistance du tube do dy est
a dyds (À + $B),
et sa conductibilité dyde
Pour trouver la conductibilité de tout le conducteur, laquelle est la somme des conductibilités des différents tubes, nous devons intégrer cette équation depuis eg — o jusqu'à e — 27, et de ÿ$ —o à $ — 1. Le
résultat est
TS log ( 1 + x) (15) Ti A/, KR’ TS ’
il peut ètre inférieur, mais non supérieur à la conductibilité vraie du conducteur.
. db . ..… B .
Si — est toujours une pelite quantle, A est aussi petit, et nous
dr pouvons développer l'expression de la conductibilité sous la forme 15) 1Lef rB iB ri. ) R' A 2 À 3 A? 4 AS
T méthode, comme limite supérieure de la conductibilité. Donc la conductibilité vraie est inférieure au premier terme, mais supérieure à la série tout entière. La limite supérieure de la résistance est l'inverse de celle-ci, soit
Le premier terme = est celui que l’on aurait trouvé, par la première
» CB 1 DB 1 B3 (6) = (i+i ri x | Fu):
Si nous avions supposé non seulement que le flux est dirigé par les surfaces » et Y, mais encore que le flux dans chaque tube est proportionnel à de dŸ, on aurait obtenu, comme valeur de la résistance, sous cette restriction supplémentaire,
a) R'= =(A+EB),
laquelle est évideminent supérieure à la première valeur, ainsi qu'elle devait l'être en raison de cette restriction additionnelle. Dans le Memoire de lord Rayleigh, cette supposition est faite, et la limite supérieure de la résistance qui y est donnée a la valeur (15), un peu plus grande que celle obtenue en (16).
308. Nous allons maintenant appliquer cette mème méthode à la
recherche de la correction qu'il faut appliquer à la longueur d'un conducteur cylindrique de rayon a, lorsque son extrémité cst mise en contact avec une électrode massive, que nous supposerons faite d’un métal différent.
Pour trouver la limite inférieure, nous pouvons supposer que l'on interpose entre le bout du cylindre et l’électrode massive un disque infiniment mince d'une substance parfaitement conductrice, de façon que le potentiel soit partout le même au bout du cylindre. Alors le potentiel dans le cylindre ne sera plus fonction que de sa longueur; et, si nous supposons que la surface de contact de l'électrode et du cylindre soit à peu près plane et que l'électrode ait des dimensions considérables relativement au diamètre du cylindre, la distribution ‘du potentiel sera la même que celle qui est produite sur un conducteur en forme de disque placé dans un milieu infini. (Voër $& 151 et 177.)
Si E est la différence entre le potentiel du disque et celui des parties les plus éloignées de l'électrode, C l'intensité du courant qui va de la surface du disque à l'électrode, et si 7’ est la résistance spécifique de l'électrode; si enfin Q est la quantité d'électricité répandue sur le disque et que nous supposons distribuée comme au $ 151, nous avons
g tC=ii-0 = aEk., E (19) a = 3iT T2 ia JP
d'après le $ 151.
Si donc le fil présente une longueur L depuis un point donné jusqu'à l'électrode, et si sa résistance spécifique est », sa résistance, depuis le point choisi jusqu’à un point de l’électrode non situé dans le voisinage de la jonction, est
L s' R = 9 — + —, Ta? q« ce qui peut s'écrire "ra (19) R= ER (L+É Fe); tri p t
le second terme de la parenthèse est une quantité que l'on doit ajouter à la longueur du cylindre ou du fil quand on calcule sa résistance, et qui est évidemment une très petite correction.
Pour comprendre la nature de l'erreur dont il s'agit, il faut remarquer que nous avons toujours supposé Île flux uniforme dans toute la section du fil, y compris le disque; mais le flux du disque à l'électrode n'est plus uniforme : en chaque point, il est inversement proportuionnel à la corde minimum passant par ce point. Dans le cas
. actuel, le flux à travers le disque n’est pas uniforme; mais il n'est pas non plus aussi différent d’un point à un autre que nous le supposons ici. Dans le cas actuel, le potentiel du disque n’est pas uniforme, mais varie et diminue quand on va du milieu vers les bords.
309. Nous allons maintenant déterminer une quantité plus grande que la vraie résistance, en astreignant le flux à être uniforme en tous les points du disque. Nous pouvons supposer que les forces électromotrices introduites à cet effet agissent perpendiculairement à la surface du disque.
La résistance du fil sera la même que précédemment; mais la quantité de chaleur produite dans l’électrode sera l'intégrale de surface du produit du flux par le potentiel. Or le flux, en un point quelconque, est
ra” et le potentiel est le mème que celui d'une surface électrisée pour laquelle la densité superficielle o est
F' étant la résistance spécifique.
Nous avons donc à déterminer l'énergie potentielle de la charge d’un disque dont la densité suoerficielle est uniforme et égale à 0.
(!) On trouve aisément que sur les bords d’un disque où la densité superficielle est uniforme et égale à 6, le potentiel est
4 «as.
Le travail effectué, si l’on ajoute à la circonférence du disque une bande d'épaisseur da, est
2racdaias,
et l'énergie potentielle totale du disque est l'intégrale de cette expression, soil
(21) | P — ao,
Dans le cas de la conduction électrique, le travail effectué dans une
oo
(:) Voir un Mémoire du professeur Cayley, London Math. Soc. Proc., VI, p. 47.
CALCUL APPROCHÉ DE LA RÉSISTANCE D'UN CONDUCTEUR, ETC. 489 électrode de résistance R’ est CR; mais, d'après l'équation générale de conduction, l'intensité du courant qui passe à travers l'unité d’aire du disque est de la forme
1 dV 5" dy
ou
Nous avons donc (22) C?'R'=— P ; d'où, en vertu de (20) et de (41).
et la correction qu'il faut faire subir à la longueur du cylindre est
cette correction étant supérieure à la vraie valeur. La correction vraie
à faire sur la longueur est donc : an, où nr est un nombre compris
7 8 , ET Nu entre 3 et FA c'est-à-dire entre 0,785 et 0,849.
Par une deuxième approximation, lord Rayleigh a réduit à 0,8282 la limite supérieure de 7 (!).
me — = —
(') Phil. Mag., nov. 1872. Plus tard, lord Rayleigh a obtenu pour limite supéricure 0,8242. (Voir London Math. Soc. Proc., VII, p. 54.)
4go 2° PARTIE, CHAP. IX. — CONDUCTION DANS LES MILIEUX, ETC.
