DES CONDITIONS QUI DOIVENT ÊTRE SATISFAITES, ETC
Si nous connaissons deux des quatre quantités A,, As, B;, B;, ces équations suffisent pour déterminer les deux autres.
Supposons connus À, et B,, nous trouvons les expressions suivantes de À, et B, :
(5) L ki(2i+:1) | gp, Ci hr)iAsaitie [kit R(i+NIB, ki(at+1)
On peut ainsi trouver les conditions auxquelles doit satisfaire chaque terme du développement harmonique du potentiel, pour un nombre quelconque de couches limitées par des surfaces sphériques conceutriques.
312. Soient a le rayon de la première surface sphérique, a, le rayon d’une deuxième surface sphérique plus grande, au delà de laquelle la résistance spécifique est &;. S'il n'y a à l’intérieur de ces sphères ni sources, ni pertes d'électricité, il n’y a point de valeurs infinies de V, et nous aurons
Nous trouvons alors, pour les coefficients À, et B, du milieu extérieur, A3k1ke(at+ 1)? = IUT, 1)— Age][Aole + Ki] .... a] 21+1);
+ Ge (A (EE ) {Au (6) Bs ki ks(ai +1) = UTC 1) Aëltks— k)atitt
+R -k)[hé ÇÉ-njañiriias.
La valeur du potentiel dans le milieu extéricur dépend en partie des sources extérieures d'électricité qui produisent les courants, indépendamment de l'existence de la sphère de matière non homogène introduite dans le champ de ces sources, et en partie de la perturbation causée par l'introduction de cette sphère hétérogène.
La première partie dépend seulement d’'harmoniques solides de degré positif, car elle ne peut avoir de valeurs infinies à l'intérieur de la sphère.
La seconde partie ne doit dépendre que d'harmoniques de degrés négatifs, car elle doit s’annuler à une distance infinie du centre de la sphère.
Donc, le potentiel dà aux forces électromotrices extérieures doit ètre développable en une série d'harmoniques solides, de degré positif. Soit À, le coefficient de l’un d’eux, de la forme
As Sir;
nous pouvons trouver À, le coefficient correspondant pour la sphère intérieure, par Féquation (6), et de celui-là déduire A:, B; et B;. De ceux-ci, B, représente l'effet produit sur le potentiel du milieu extérieur par l'introduction des sphères hétérogènes.
Supposons maintenant À, — 4,; nous serons dans le cas d’une enveloppe creuse, pour laquelle À —£K,, qui sépare un milieu intérieur d’un milieu extérieur semblable, dans lequel 4 — #..
Si nous posons
a QE Dh ke + ie Duke | (4) | a:
alors Ai Aikl(at-.-1)? CA»,
, Au h3(28--1[ AE -5- 1) + Ket] CA,
| B, T— Ko tÉ2T LA — ks ja?t#i CA,
| B; == ECko— À: [Ait L —- 1) — ke tl(azirt — ati )CGA 3.
La différence entre À, le coefficient non troublé, et sa valeur A, dans la cavité intérieure de l'enveloppe sphérique, est
\ 2i+1 (8) As Au th hit éenfi (ft) Jeas.
Puisque cette quantité est toujours positive, quelles que soient les valeurs de #, et #,, 11 résulte que l'action électrique, dans l’espace compris à l'intérieur de l'enveloppe, est moindre qu'il n'eùt été autrement, que la couche sphérique conduise mieux ou plus mal que le reste du milieu. Si l'enveloppe conduit mieux que le reste du milieu, elle tend à égaliser le potentiel dans toute l'étendue de la sphère intérieure. Si elle conduit moins bien, elle tend à empècher absolument les courants électriques d'atteindre la sphère intérieure.
Le cas d'une sphère massive peut être déduit de celui-ci, en faisant di = 0, où peut être étudié directement.
313. Le terine le plus important dans le développement harmonique
DES CONDITIONS QUI DOIVENT ÊTRE SATISFAITES, ETC. 499 est celui dans lequel î=—1; on a
C = TT Ja; \3Ï?
94145 + 2 kr] 1 (4) | As
(9) A1 = 94142 CA, As = 3k:(2k1-- A2) CA3, Ba = 342(41-- ks)ai CA, B3 = (A2— A1)(241+ Ka)(aÿ — aÿ)CA3.
Le cas d'une sphère massive de résistance À, peut s’en déduire en faïsant a —0. Ona alors e
3 ka
… … … Ka— 2 — H+2k A3, B:=0, B;—
Go) A H+ak
ai À3.
Il est aisé de faire voir, au moyen des expressions générales, que la valeur de B, est la même dans le cas d’une sphère creuse formée d’un noyau de résistance À, entouré d'une enveloppe de résistance 4,, et, dans le cas d’une sphère massive et homogène, ayant pour rayon le rayon de la surface extérieure et présentant une résistance K, où (11) K Chair (he koi pe (24k1=- Rr)aÿ — 2(k1— k:)ai
314. Si l’on a x sphères de rayon @, et de résistance 4;, réparties dans un milieu de résistance #,, et écartées les unes des autres à des distances telles que l’on puisse considérer comme indépendants les effets de perturbation qu'elles exercent sur la marche des courants, et si ces sphères sont toutes contenues dans une sphère de rayon @;, le potentiel, en un point très éloigné du centre de cette sphère, sera de la forme
(12) V=(ar+nB 2 )cost, la valeur de B étant
… Ki— F3 3 (13) B — + a A.
Le rapport du volume des r petites sphères à celui de la sphère qui les contient est
(14) p=n te
La valeur du potentiel, en un point éloigné du centre de la sphère,
496 2° PARTIE, CHAP. IX. — CONDUCTION DANS LES MILIEUX, ETC. pourra donc être mise sous la forme
k; - Ko L 15 V=A(r-—pai ———" — )cos0.
( ) ( pes 2ki— LE à) Or, si toute la sphère avait été faite d’une substance ayant la résistance spécifique K, on aurait
(16) VA (ra EE à
Pour que l’une de ces expressions soit équivalente à l’autre, 1l faut que
. 2ki- Ke = pk; — AQ) un) ST ke pile k) Telle est donc la résistance spécifique du milieu composé, formé d’une substance de résistance À, dans lequel sont disséminées de petites sphères de résistance À;, le rapport du volume des petites sphères au volume de le masse totale étant égal à p. Pour qu'il ne se produise pas d'effets dus aux réactions mutuelles de ces sphères, il faut que leurs rayons soient petits en comparaison de leurs distances, ou quep soit une fraction assez faible.
Ce résultat peut aussi être obtenu par d’autres méthodes; mais celle qui est donnée ici ne fait que revenir sur le résultat déjà obtenu dans le cas d'une seule sphère.
Si la distance des sphères n'est pas grande relativement à leur rayon et si UE est considérable, d'autres termes s'introduisent dans le résultat que nous allons examiner maintenant. En raison de l'existence de ces termes, certaines distributions des sphères donnent lieu à des résistances du milieu composé variables dans les diffé-
rentes directions.
Application du principe des images.
315. Prenons pour exemple le cas de deux milieux séparés par une surface plane, et supposons que, dans le premier milieu, à une distance a de la surface, il ÿ ait une source S d'électricité, qui émet une quantité d'électricité S dans l'unité de temps.
Si le premier milieu s'étendait indéfiniment, le courant aurait, en
un point quelconque P, la direction SP, et le potentiel en P serait E ri
