FRE, DUREE

se détruisent l’une l’autre, puisque le point (x, 8) se confond avec le

point (x, B,).

L'expression (8) se réduit donc à

rh, ir (9) [ (NE),

et, puisque la courbe 2 — 1, est identique avec la courbe s, nous pouvons écrire cette expression

or (10) [RE

l'intégration s’effectuant le long de la courbe s. On traiterait de la même manière les parties de l'intégrale de surface qui dépendent de Y et Z, en sorte que l’on a finalement

0x dy 03 bi — — Ù = — (11) ff: mr, n?)dS = [ À (x ds + Ÿ ds + Z Re) ds

la première intégrale s'étendant à la surface S, et la seconde à la courbe limite s (1).

Effet de l'opérateur V sur une fonction vectorielle.

25. Nous avons vu que l'opération représentée par V est celle par laquelle on déduit un vecteur de son potentiel. La même opération, appliquée à une fonction vectorielle, donne des résultats qui interviennent dans deux des théorèmes précédemment établis (III et IV). L'extension de cet opérateur aux déplacements vectoriels et la plupart des développements qui suivent sont dus au professeur Tait (?).

Soit s une fonction vectorielle de p, le vecteur d’un point variable. Posons, suivant l'usage,

o=ir-Jy-+k3 et T=ÛX —jY—+ AZ,

où X, Ÿ, Z sont les composantes de 5, suivant les directions des axes.

(") Ce théorème a été donné par le professeur Stokes (Smith's prise Examination, 185%, question 8). 11 cst démontré dans la Watural philosophy de Thomson ct Tait, 8 190 (7).

(*) Voir Proc. R. S. Edin., 28 avril 1862; Sur le theorème de Green et d'autres qui en dépendent (Proc. R. S. Edin., 1869-50), Mémoire très important ; el Sur quelques intégrales de quaternions (Proc. R. S. Edin., 1830-71).