EFFET DE L'OPÉRATEUR V SUR UNE FONCTION VECTORIELLE
Nous devons effectuer sur s l'opération
Effectuons cette opération en appliquant les règles de multiplication de é, j et À; nous trouvons que Vs se compose de deux parties, l’une scalaire, et l’autre vectorielle.
La partie scalaire est
Sts=—(X N° OT dy 93,
(voir Tuaéortue IIT) et la partie vectorielle est
. [OX 0Z2\ j ( NY 0X + EX)" =)
. [9Z OY VYs = L (S — =) et, si la relation entre X, Y, X et £, r,, & est celle qui a été donnée par l'équation (1) duth£ orème précédent, nous pouvons écrire
Vs in +Â$ (voir THéorkue IV).
On voit donc que les fonctions de X, Y, Z qui se présentent dans les deux théorèmes s’obtiennent toutes deux en effectuant l'opération V sur le vecteur dont les composantes sont X, Ÿ, Z. Les théorèmes euxmèmes peuvent s’écrire
(HT) ff SVs dS = [ fs.svvas
et
(IV) ] S5 ds -- Î J S.vs Uv ds,
où dS est un élément de volume, ds un élément de surface, d2 un élément de courbe, et U v un vecteur unité, dirigé suivant la normale.
Pour comprendre la signification de ces fonctions d’un vecteur, supposons que soit la valeur de os en un point P, et examinons quelle est la valeur de os — 5, dans le voisinage de P. Si, autour du point P. nous traçons une surface fermée, et que l'intégrale de 5 sur cette surface soit dirigée vers lintérieur (!), SVo sera positif, et, partout aux environs du point P, le vecteur 5 — 5, sera dirigé vers ce point, ainsi que l'indique la fig. 1.
(') C'est-à-dire si l’on considère le côté interne de cette surface comme son côté positif. (P.)
C'est pourquui je propose d'appeler la partie scalaire de Vo la conergence de 3 au point P.
Pour déterminer le sens de la partie vectorielle de Vo, supposons que nous regardions dans la direction du vecteur dont les composantes
Fig. 1. | (,
sont €, n el Ÿ. el examinons le vecteur os — 3, près du point P. On verra que, comme sur la ffg. 2, le vecteur est partout disposé tangen-
Fig. 2.
tiellement et dans une direction opposée au mouvement des aiguilles d'une montre.
Je propose, mais sans grande confiance, d'appeler la partie vectorielle de Vo le tournoitement ou la version de s au point P.
La /ig. 3 montre un exemple de version et de convergence combi-
nées.
Considérons maintenant la signification de l'équation FVs—o.
Elle implique que Vs est scalaire, ou que le vecteur 5 est le gradient de quelque fonction scalaire W. Ces applications du symbole d'opéra- Uüon V sont dues au professeur Tait (!). Un développement plus com-
(') Proceedings Ii. S. Fdin., 1862.
