EFFET DE L'OPÉRATEUR V SUR UNE FONCTION VECTORIELLE

plet de cette théorie est donné dans le Mémoire Sur le théorème de Green, et sur d’autres qui en dépendent, auquel je renvoie le lecteur pour l'étude des propriétés du symbole V au moyen des seules méthodes des quaternions (1).

26. Une des propriétés les plus remarquables du symbole d’opération V est que, répété, 1l devient

dx? dy? 03?

symbole qui se présente dans toutes les parties de la Physique et que nous appellerons symbole de Laplace.

Ce symbole d'opération est essentiellement scalaire : quand il est appliqué à une fonction scalaire, le résultat est scalaire ; quand il est appliqué à un vecteur, le résultat est un vecteur.

Si d’un point P comme centre nous traçons une petite sphère de

rayon 7, et si g, est la valeur de q au centre, q sa valeur moyenne pour tous les points situés à l’intérieur de la sphère,

Qo—qg = rtVig;

en sorte que la valeur de g au centre est plus grande ou plus petite que la valeur moyenne, suivant que V?q est positif ou négatif (?). C'est pourquoi je propose d'appeler V?q la concentration de g au

(') Trans. R. S. Edin., 1869-70.

(?) [En effet, pour un point de cette sphère,

: 0q 0q 04 . ,: > n 0'q 1=D+T+ ++ (as Paye):

dy 3 dx dy d3; TI Tera es; mais, si dw représente dx dy ds, on a pour la sphère [ad = [y du = ffrdu = [ysdu = [ 2: du = Ty dw = 0

fra = fra = fs de = 3 f md = 3 f ira d rr*:

; 3 Jo 19

d'où, enfin,

3 __W., 1 ,/0dg dq dq Ÿ — =. qd dy ds = 9 + 10’ (+ 53 + 52) (P.)]

Tr. d'Élect. et de Magn., I. 3

là valeur moyenne est

point P, car il indique l'excès de la valeur de g en ce point sur sa valeur moyenne aux environs de ce point.

Si g est une fonction scalaire, on connaît bien la façon de trouver sa valeur moyenne. Si c’est une fonction vectorielle, on trouvera sa valeur moyenne au moyen des règles sur l'intégration des fonclions vectorielles. Le résultat est naturellement un vecteur.