Soient
E la force électromotrice d’une pile;
R la résistance de cette pile et de ses communications (y compris le galvanomètre qui sert à mesurer la force du courant);
I l'intensité du courant lorsque le circuit de la pile est fermé;
I, et IL, ces intensités lorsqu'on introduit dans le circuit les résistances additionnelles 7, et 7; ;
la loi de Ohm donne E = IR — LCR + ri) —= LCR + re).
Éliminant E la force électromotrice et R la résistance de la pile et de
DE LA COMPARAISON DES RÉSISTANCES. 229 ses communications, nous avons la formule de Olhm
ri (—H)l
re 7 Cette méthode exige que l’on mesure les rapports de 1, 1, et [;, ce qui suppose un galvanomètre gradué pour des mesures absolues.
Si les résistances r, et r, sont égales, I, et I, sont égales; nous pouvons donc vérifier l'égalité de deux intensités au moyen d’un galvanomètre qui ne pourrait pas en mesurer le rapport.
Mais c'est là plutôt un exemple d'une méthode défectueuse que d’une méthode vraiment pratique pour mesurer les résistances. On ne peut maintenir exactement constante la force électromotrice E; la résistance intérieure de la pile est aussi extrêmement variable : on ne doit donc compter sur aucune méthode qui suppose, même pour un temps très court, la constance de ces deux éléments.
346. La comparaison des résistances peut être faite avec une très srande exactitude par l’une ou l’autre des deux méthodes suivantes, dans lesquelles le résultat ne dépend point des variations de R
ou de E ( /ig. 31).
Fig. 31.
La première de ces méthodes repose sur l'emploi du galvanomètre différentiel : cet instrument renferme deux bobines, que les courants traversent indépendamment l'une de l’autre; en sorte que s'ils y passent dans des directions opposées, les bobines exercent sur l’aivuille du galvanomètre des actions de sens contraires, dont l’elfet résultant devient nul, lorsque le rapport des intensités prend une cer-
. m taine valeur a"
Tr. d'Élect. et de Magn., I. 3
Soient I, et I, les intensités dans les deux bobines du galvanomètre; la déviation de l'aiguille pourra se représenter par
Ô = mi, — nl.
Partageons entre les deux bobines le courant I fourni par la pile; introduisons des résistances A et B dans les circuits de la première et de la seconde bobine, et représentons par a et f le reste de la résistance des bobines et de leurs communications, par 7° la résistance de la pile et de ses communications de C à D, et par E sa force électromotrice.
Alors la loi de Ohm donne, pour la différence des potentiels entre Get D,
L(A+z)=RL(B+8)—E--fr,
et, puisque 1, + I,=— L,,
LB--8 LrA-+:z LRA+2-B+8 H=E pi RRESS IE où D=(A--2)(B+8)+r(A+z+B+8)
La déviation de l’aiguille du galvanomètre est donc ss E = plm(B+8)—n(A+a)];
s’il n’y a point de déviation appréciable, c'est que la quantité entre parenthèses ne peut différer de zéro de plus d'une certaine quantité très petite, laquelle dépend de la puissance de la pile, de la bonne disposition des appareils, de la sensibilité du galvanomètre, enfin de l'exactitude de l'observateur.
Supposons B réglé de façon qu'il n’y ait point de déviation appréciable.
Substituons à À un autre conducteur A’, et réglons-le jusqu’à ce qu'il n’y ait plus de déviation appréciable. Il est clair qu’alors on a, comme première approximation, A'— A.
Pour nous rendre compte du degré d’exactitude de cette évaluation, distinguons par un accent les quantités qui ont changé dans la seconde observation; on a
m(B+$8)—n(A +a)e Là
d'où
Si, au lieu d’ètre sensiblement nuls, à et Ô’ étaient seulement égaux, le second membre de l'équation ne serait plus nul, à moins que l’on ne pût aussi affirmer que E — E, et, en fait, la méthode ne serait plus qu’une simple modification de la méthode déjà décrite plus haut.
Mais sa valeur tient à ce que le point sur lequel porte l'observation, c'est l'absence d’une déviation; en d’autres termes, c'est une méthode de réduction à zéro : la non-existence d’une force résulte d’une observation où cette force aurait produit un effet appréciable, si elle avait différé de zéro de plus d’une certaine quantité très petite.
Les méthodes de réduction à zéro ont une grande valeur lorsqu'on peut les employer; mais elles exigent que l’on puisse mettre en jeu simultanément dans l’expérience deux quantités de même espèce égales et opposées.
Dans le cas actuel, à et 5’ sont deux quantités trop petites pour pouvoir être observées, et, par suite, un changement dans la valeur de E n’enlève rien de son exactitude au résultat.
On peut déterminer le degré de précision auquel peut atteindre cette méthode en faisant une série d'observations pour chacune desquelles on fait à nouveau le réglage de À’, et en comparant le résultat de chacune de ces observations à la moyenne de la série entière.
Or, si l’on dérègle À’ d'une quantité connue, par exemple si l’on introduit en À ou en B une résistance additionnelle égale à la centième partie de À ou B, en observant la déviation qui en résulte pour l'aiguille du galvanomètre, on peut déduire le nombre de degrés correspondant à une erreur de 1 pour 100. Et, pour connaître la précision effectivement obtenue, il faut déterminer la plus petite déviation qui ne puisse échapper à l'observation et la comparer à la déviation qui correspond à une erreur de 1 pour 100.
Si c'est entre À et B que la comparaison (!) doit être faite en échanseant les positions de À et de B, la seconde équation devient
m(A+3)—n(B+2:)= a ÿ", d’où
(') Cette étude est tirée du Traité de Weber sur les mesures galvanométriques. (Gôttingen Transactions, t. X, p. 65.)
Et, si met n, AetB, x et $ sont à peu près égaux, ; A!
B — À — onÉ (A+ a)}(A+a+ar)(ô — 0),
où l’on peut prendre pour & — &’ la plus petite déviation appréciable
du galvanomètre.
Si l’on fait le fil du galvanomètre plus long et plus fin, tout en lui
conservant la même masse totale, z varie comme la longueur du fil et « comme le carré de sa longueur, il y a une valeur minimum
de ta reran
amtaænf/ |
Si l’on suppose que r, la résistance de la pile, soit faible relativement à À, ceci donne
’ pour
ou la résistance de chacune des bobines du galvanomètre doit être le tiers de la résistance à mesurer. |
On trouve alors 8 A:
one)
B — A Si le courant passant à travers une seule des bobines du galvanomètre donne une déviation À, on a (à supposer que la déviation soit exactement proportionnelle à la force qui la produit),
a LC sir—=o et a — A; d'où B—A 29—C CA 3 A
Dans le galvanomètre différentiel, deux courants produisent sur l'aiguille suspendue des effets égaux et contraires. La force avec laquelle chacun d'eux agit sur l'aiguille ne dépend pas seulement de son intensité, mais aussi de la position des spires du fil par rapport à l'aiguille. Donc, à moins que la bobine n'ait été enroulée avec un très grand soin, le rapport de » à x» peut changer avec la position de l'aiguille. 1] est donc nécessaire de déterminer ce rapport par des moyens convenables au cours de chaque expérience, si l’on suppose qu'il a pu se produire quelque changement dans la position de l'aiguille.
L'autre méthode de réduction à zéro, où l'on emploie le pont de
Wheatstone, ne demande qu’un galvanomètre ordinaire; l'absence de déviation de l'aiguille que l’on observe est due, non plus aux actions opposées de deux courants contraires, mais bien à l'absence de courant dans le fil. Le phénomène observé n’est donc plus seulement une déviation nulle, mais aussi une intensité nulle, et aucune erreur ne peut se produire par le fait d'irrégularités ou de changements de quelque nature que ce soit dans les bobines du galvanomètre. On n'a à demander au galvanomètre que d’être suffisamment sensible pour révéler l'existence et la direction d’un courant, sans aucunement en déterminer la valeur, ni la comparer à celle d’un autre courant.
3#7. Le pont de Wheatstone est formé essentiellement de six conducteurs reliant quatre points. Une force électromotrice E est mise en jeu entre deux de ces points au moyen d’une pile voltaïque introduite entre B et C (/ig. 32). On observe au moyen d’un galvanomètre
Fig. 32.
l'intensité entre les deux autres points O et A.
Ce courant devient nul dans certaines conditions : on dit alors que les conducteurs BC et OA sont conjugués l’un à l’autre; cela implique une certaine relation entre les résistances des quatre autres conducteurs, et c’est de cette relation que l’on fait usage pour mesurer les résistances.
Si l'intensité est nulle dans OA, le potentiel O doit être le même que le potentiel en A. Or, si nous connaissons les potentiels en B etC, nous pouvons déterminer les potentiels en O et en A par la règle donnée au $ 275, pourvu qu'il n'y ait point de courant dans OA,
: By+- C3 __B--Cc RE ET PTE la condition est donc bi—=c",
b, c, 8 et ÿ étant les résistances respectives de CA, AB, BO et OC.
Pour savoir le degré de précision que l’on peut atteindre par cette méthode, il nous faut déterminer l'intensité du courant qui passe dans OA quand la condition n’est pas exactement remplie.
Soient
A, B,Cet O les quatre points;
æ, y et 3 les courants suivant RC, CA et AB;
a, b et c les résistances de ces trois conducteurs; ë,n, & les courants suivant OA, OB et OC;
«, 8, y leurs résistances;
E une force électromotrice qui agit suivant BC.
Désignons par A, B, C et O les potentiels aux points A, B, C et O. Les équations de conduction sont
ax—B—-C+E, a = O—A, by = C—A, Bn = O —B, cs = À —B, y=0—C,
et les équations de continuité sont
En considérant le système comme formé de trois circuits OBC, OCA et OAB, dans lesquels les intensités sont x, y et 5, et en appliquant à chaque circuit la règle de Kirchhoff, nous éliminons les valeurs des potentiels O, A, B, C et des intensités £, n, &, et nous obtenons les équations suivantes en æ, y et 3,
(a+$+y)r — y — $3 — E, —Yxz +(b+y+a)y — as = 0, — fr —2y +(c+a+8)s—=o; d’où, en posant a+fp+y — + — $ D — — bL+yÿ+a — a |»
-- f — 4 caf nous tirons E = piés—cy)
ct
T = - [(b+y)(c+B)+a(b+cec+8+y)].
DE LA COMPARAISON DES RÉSISTANCES 535 348. La valeur de D peut être mise sous une forme symétrique
D =abc+bc(8+y)+ca(y+a)+ ab(za+ 8) +(a+b+c)(yz+ 28 + By),
ou bien, puisque nous supposons la pile dans le conducteur a et le galvanomètre dans le conducteur x, nous pouvons remplacer a par B résistance de la pile et « par G résistance du galvanomètre. Nous trouvons alors
D=BG(b+c+$+y)+B(d+y)(c+—B)+G(b+c)(3 +7)
+ bc(83 + y) + By(d + ec).
Si la force électromotrice E agissait suivant OA, la résistance de OA restant toujours égale à x et si le galvanomètre était placé dans BC, la résistance de BC restant a, la valeur de D resterait la mème, et l'intensité dans BC, due à une force électromotrice E agissant suivant OA, serait égale à l'intensité suivant OA due à une force électromotrice agissant suivant BC.
Si l’on détache simplement la pile et le galvanomètre et si, sans altérer leurs résistances respectives, on attache la pile en A et O et le galvanomètre en B et C, il faut échanger les valeurs de B et G dans l'expression de D. Si D' est la valeur de D après cet échange, on trouve
Supposons que la résistance du galvanomètre soit plus grande que celle de la pile.
Supposons également que, dans sa première position, le galvanomètre relie le point de jonction des deux conducteurs les moins résistants $ et y au point de jonction des deux conducteurs les plus résistants d et c; ou en d’autres termes, que, supposant les quantités b, C, ÿ et y rangées par ordre de grandeur, b et c soient reliés ensemble, et 8 et y également ensemble. Alors les quantités b — 8 et c — 7 sont de même signe, leur produit est positif, et D — D’ est de même signe que D —G.
Si donc le galvanomètre est placé de façon à relier le point de jonction des deux plus grandes résistances au point de jonction des deux plus petites, et si sa résistance est supérieure à celle de la pile, la valeur de D est moindre et les déviations du galvanomètre sont plu: grandes que si l’on établit les communications de l'autre manière.
Donc, pour obtenir dans un système donné les plus grandes déviations du galvanomètre, la règle est la suivante :
Des deux résistances de la pile et du gal“anomètre, placer la
plus grande de façon qu’elle relie le point de jonction des deur plus grandes au point de jonction des deux plus petites des quatre autres résistances.
349. Soit à déterminer le rapport des résistances des conducteurs AB et AC, en trouvant sur le conducteur BOC un point O tel que, les points A et © étant reliés par un fil sur lequel est embroché un galvanomètre, aucune déviation appréciable de l'aiguille ne se produise lorsque l'on fait agir la pile entre les points B et C.
On peut admettre que le conducteur BOC soit un fil de résistance uniforme, divisé en parties égales, en sorte que l’on puisse lire de suite le rapport des résistances de BO à OC.
Mais au lieu que tout le conducteur soit formé de ce fil uniforme, on peut aussi n’en faire que la partie voisine de O, et prendre pour parties latérales des bobines de forme quelconque et de résistance exactement déterminée.
Nous allons maintenant employer une notation différente de Ia notation symétrique avec laquelle nous avons commencé.
Soient
R la résistance totale de BAC; c=œmRetb—(1—m})R;
S la résistance totale de BOC; B—nSety —(1—n)S.
La valeur de À se lit directement et celle de m s’en déduit lorsqu'il n'y a plus de déviation appréciable du galvanomètre.
Soient B la résistance de la pile et de ses communications; G celle du galvanomètre et de ses communications.
Nous trouvons, comme plus haut,
D = G(BR--BS+RS)+m(i— m)R?(B +S) + n(i—n)S(B+R)-(m+n—2mn)BRS,
et, si £ est l'intensité dans le fil du galvanomitre,
Pour obtenir les résultats les plus exacts, nous devons rendre les déviations de l'aiguille aussi grandes que possible relativement à la valeur de r7 — m. C’est à quoi l’on arrive en choisissant convenablement les dimensions du galvanomètre et le fil dont la résistance sert de terme de comparaison.
On fera voir, quand on traitera de la Galvanométrie ($ 716), que si la forme du fil dans un galvanomètre change, sa masse restant constante, la déviation de l'aiguille produite par l’unité d'intensité est proportionnelle à la longueur, et que la résistance croît comme le carré de la longueur. D'où l'on tire que la déviation maximum se produit quand la résistance du fil du galvanomètre est égale à la résistance du reste du circuit.
Dans le cas actuel, si à est la déviation,
où C est une certaine constante et G la résistance du galvanomètre qui varie comme le carré de la longueur de son fil; d’où l’on trouve que, quand à est maximum, la partie de la valeur de D qui renferme G doit devenir égale au reste de l'expression.
Si nous posons aussi 7» — An, ce qui est le cas lorsque nous avons fait une observation correcte, nous trouvons que la meilleure valeur
de G est G—=n(i—n)(R+S).
On peut aisément obtenir ce résultat, en considérant la résistance du système de À à O et se souvenant que BC, étant conjugué de AO, n’a aucun effet sur cette résistance.
Nous trouvons de mème que, étant donnée la surface agissante totale de la pile, la disposition la plus avantageuse de cette pile est réalisée quand
RS
BR x
Enfin, nous -déterminons la valeur de S par la condition qu’un changement donné dans la valeur de x produise la plus grande déviation possible au galvanomètre. Différentiant l'expression de £, nous
trouvons ainsi . BR G S=g rl" | xl
Si l’on doit faire un grand nombre de déterminations pour lesquelles la résistance à mesurer présente à peu près la même valeur, on peut se donner la peine de préparer un galvanomètre et une pile spécialement en vue de ces mesures. La meilleure disposition est alors
S=R, B—2iR, G=—an(i—n)R
et, 512), G LR.
Sur l'emploi du pont de Wheatstone.
350. Nous avons exposé la théorie générale du pont de Wheatstone ; nous allons maintenant considérer quelques-unes de ses applications.
La comparaison qui peut être effectuée avec le plus d’exactitude est celle de deux résistances égales.
Supposons que 8 (/ig. 33) soit une bobine de résistance étalon et que nous voulions régler la résistance de + à être égale à celle de $.
Fig. 33.
Deux autres bobines, betc, sont préparées, égales entre elles ou à peu près; puis les quatre bobines sont mises en place, leurs électrodes plongeant dans des godets de mercure, de façon que le courant de la pile se partage entre les deux branches formées, l’une par 3 et ; et l’autre par b et c. Les bobines b et c sont reliées par un fil PR, de résistance aussi uniforme que possible, pourvu d’une échelle divisée en parties égales.
Le fil du galvanomètre relie le point de rencontre de 8 et de + avec un point Q du fil PR, que l’on fait varier jusqu’à ce que, fermant d’abord le circuit de la pile, puis celui du galvanomètre, on n'observe plus aucune déviation de l'aiguille.
On échange alors les positions des bobines $ et ;, et l'on trouve une nouvelle position de Q. Si cette nouvelle position est la même que l’ancienne, nous savons que l'échange de $ et de ; n’a produit aucun changement dans le rapport des résistances et que, par suite, y est bien réglé. S'il faut déplacer Q, le sens et la grandeur de ce déplacement indiqueront la nature et la grandeur du changement qu'il faut apporter à la longueur du fil ; pour que sa résistance devienne égale à celle de 8.
Si les résistances des bobines b et c, chacune d'elles comprenant la portion du fil PR qui s'étend jusqu’au point marqué zéro sur l'échelle, sont égales aux résistances de b et de c divisions du fil, et si la lecture de l'échelle qui correspond à Q est x dans le premier cas, y dans le second,
cr B c+y 7.
b—z % by 8’ d'où
pi b+z)(b—7)
Puisque b — y est à peu près égal à c + x et que tous deux sont wrands par rapport à æ ou à y, ceci peut s'écrire
et Y = B(i+2 Fe).
Ayant réglé + aussi bien que possible, nous substituons à betà c d’autres bobines, de résistance dix fois plus grande, par exemple.
La différence qui subsiste encore entre $ et y produira alors dans la position de Q une variation dix fois plus grande qu'avec les premières bobines, et nous pouvons ainsi augmenter constamment l'exactitude de notre comparaison.
Le réglage se fait plus vite au moyen d’un fil et d’un contact que l'on déplace, qu’au moyen d’une boîte de résistances, et il se fait d’une manière continue.
On ne doit jamais introduire dans le fil par le contact mobile la pile au lieu du galvanomètre, car le passage d’un courant énergique par le point de contact détériorerait la surface du fil. Cette disposition s’applique donc au cas où la résistance du galvanomètre est plus grande que celle de la pile.
Si l'on donne } la résistance à mesurer, a la résistance de la pile et « celle du galvanomètre, les valeurs les plus avantageuses des autres résistances sont, ainsi que l’a fait voir M. Oliver Heaviside (PAil. Mag., février 1853),
De la mesure des petites résistances.
351. Si l'on introduit dans un circuit un conducteur court et épais, sa résistance est très faible à côté des résistances causées par les défauts inévitables des attaches, contacts imparfaits, mauvaises soudures, etc., et des mesures faites de la façon qu'on vient de décrire ne donneraient pas une valeur correcte de la résistance.
L'objet de ces expériences est, en général, de déterminer la ré-
Fig. 34.
sistance spécifique d’une substance, et l’on y a recours si la substance ne peut être obtenue sous forme de fil long et fin ou si l’on doit mesurer la résistance transversale aussi bien que la résistance longitudinale. ‘ |
Sir W. Thomson (‘) a décrit une méthode applicable dans des cas de ce genre, que nous pouvons prendre comme exemple d'un système à neuf conducteurs.
Le point le plus important de cette méthode est que l’on mesure la résistance non pas du conducteur tout entier, mais seulement de la partie de ce conducteur comprise entre deux repères voisins de ses extrémités.
La résistance que nous voulons mesurer est celle que rencontre un courant dont l'intensité est uniforme dans toutes les sections du conducteur, et qui s'écoule parallèlement à l'axe de ce conducteur. Or, dans le voisinage des extrémités, lorsque le courant pénètre par des électrodes soudées, amalgamées ou simplement serrées contre les extrémités du conducteur, il y a généralement un défaut d'uniformité dans la distribution de l'intensité dans le conducteur; tandis qu’à une courte distance des électrodes, l'intensité devient sensiblement uniforme. Le lecteur peut se reporter à l'étude et aux diagrammes
(‘) Proc. R. S., 6 juin 1861.
