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l'intégration élant effectuée d'une manière quelconque du point À au
DES FONCTIONS POTENTIELLES,. 81
point P, suivant la courbe donnée ou suivant toute autre ligne allant de À à P.
Dans ce cas, V est une fonction scalaire de la position d’un point de l'espace, c'est-à-dire que, si l’on connaît les coordonnées du point, la valeur de V est déterminée et indépendante de la position et de la direction des axes (voir $ 16).
Des fonctions de la position d'un point.
Lorsque, dans ce qui suit, nous définirons une quantité comme foncton de la position d’un point, nous entendrons par là que, pour chaque position du point, la fonction a une valeur déterminée. Cela ne veut pas dire que cette valeur puisse toujours être exprimée par la même formule pour tous les points de l’espace; car elle peut fort bien être exprimée par une formule d'un côté d'une surface donnée, et par une autre formule de l’autre côté.
Des fonctions potentielles.
10. La‘quantité X dr + Y dy + Zds est une différentielle exacte, toutes les fois que la force est due à des attractions ou à des répulsions dont l'intensité est une fonction des distances d’un nombre quelconque de points.
Soit en effet r, la distance d’un des points au point (x, Y, 3), et soit R, la répulsion : alors
l'i 0x On à pour Y, et Z, des expressions analogues, en sorte que X;dr--Yidy + Zid5 = Ridr;
el puisque R, est fonction de r, seulement, R;dr, est la différenlelle exacte d’une certaine fonction de r,, Soit — V..
De même, pour une autre force R, agissant à partir d'un centre Siluë à la distance rs,
X;, dr —— Ye d —- Z; dz3 —= R: dre = — dV3,
Mas XX + X,+...et Yet Z sont composés de la même facon: par suite,
Xdr = Y dy -Lds = -(dVi+ dV;+...)=—dV.
L'intégrale de cette quantité, qui satisfait à la condition de s'annuler à Une distance infinie, est appelée la fonction potentielle. Tr. d'Élect. et de Magn., 1. G
82 re PARTIE, CHAP. 11. — THÉORIE MATHÉMATIQUE, ETC.
L'usage de cette fonction dans la théorie des attractions a été introduit par Laplace, pour calculer l'attraction de la Terre. Green, dans son « Application de l'Analyse mathématique à la théorie de l’électricité », lui a donné le nom de fonction potentielle. Gauss, dans des travaux indépendants de ceux de Green, a aussi employé le mot de potentiel. Clausius et d’autres ont appliqué ce terme de potentiel au travail qui serait effectué, si l'on écartait l’un de l’autre deux corps ou systèmes de corps à une distance infinie. Nous emploierons ce mot dans le sens des Ouvrages anglais récents, et, pour éviter toute ambiguïté, nous adopterons la définition suivante due à Sir W. Thomson.
Définition du potentiel. — Le potentiel en un point est le travail qui serait effectué si, l’unité d'électricité positive ayant été placée en ce point sans troubler la distribution électrique actuelle, les forces électriques agissaient sur elle et la transportaient de ce point jusqu’à une distance infinie ; ou, ce qui revient au mème, le travail que doit accomplir un agent extérieur pour amener une unité d'électricité positive de Pinfini, ou de tout point où le potentiel est zéro, jusqu’au point considéré.
Expression de l'intensité résultante et de ses composantes, en fonction du potentiel.
71. Puisque la force électromotrice totale le long d'un arc AB quelconque est
Es: - Vi — Vi, en prenant ds pour cet arc AB, nous aurons pour composante de la lorce dans la direction de ds
R cose = — LV,
d’où, en prenant ds parallèle à chacun des axes successivement,
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