INTÉGRALE DE L'’INDUCTION ÉLECTRIQUE, ET DÉPLACEMENT, ETC

Car, si la force était une fonction de la distance autre qu'une puissance, le rapport des forces à deux distances différentes ne serait plus une fonction du rapport des distances, mais dépendrait de la valeur absolue de ces distances ; et, par suite, il impliquerait le rapport de ces distances à une certaine longueur absolue.

Cavendish lui-même fait remarquer que, dans son hypothèse sur ha constitution du fluide électrique, il est impossible que la distribution électrique soit exactement la même sur deux corps géométriquement semblables, si les charges ne sont pas proportionnelles aux volumes. Car il suppose que les molécules du fluide électrique sont très étroitement rapprochées, aux environs de la surface du corps, Ce qui revient à supposer que la loi de fa répulsion n’est plus celle de l'inverse carré, mais que, dès l'instant où les molécules arrivent en contact, leurs répulsions croissent bien plus vite que leurs distances ne diminuent.

Intégrale de l'induction électrique, et déplacement électrique à travers une surface.

1. Soit R l'intensité résultante en un point de la surface; soit : l'angle que fait R avec la normale menée du côté positif de la surface ; Rcos: est la composante de l'intensité, suivant la normale à la surface, et, si dS est l'élément de surface, le déplacement électrique à travers dS sera ($ 68),

KR cos: dS

4T el. puisque nous ne considérons pour l'instant d'autre diélectrique que l'air, A — 1.

Nous pouvons toutefois éviter d'introduire dès maintenant la théorie du déplacement électrique, en appelant R cose dS l'induction (1) à lravers l'élément dS. Cette quantité est bien connue en Physique mathématique, mais le nom d'énduction est emprunté à Faraday. L'inlgrale de surface de l'induction est

Î R cose dS,

el d'après le $ 21, on voit que, si X, Y et Z sont les composantes de

(*) [Pour bien comprendre le mot induction, le lecteur doit ètre familiarisé Avec tous les phénomènes physiques auxquels il est appliqué. Les considérations qui aménent ici l’auteur à définir mathématiquement cette expression sont évidemment insuffisantes et présentées d’une manicre artificielle. (G.)]

# . fr 20

R, et si ces quantités sont continues dans une région limitée par une surface fermée S, l'induction, comptée de dedans vers le dehors, est

: OX OY OZ [fr cos as - II DT JS) dr dy ds,

l'intégration étant étendue à tout le volume compris à l'intérieur de la surface.

Induction à travers une surface fermée due à un seul centre de force.

76. Soit e une quantité d'électricité, que l’on suppose placée en un point O, et soit P un point quelconque à une distance r de O : la force au point P sera er-*, et sera dirigée suivant OP.

Menons par O, jusqu'à une distance infinie, une ligne de direction quelconque. Si O est extérieur à la surface fermée, cette ligne ou bien ne rencontrera pas du tout la surface, ou yÿ pénétrera et en sorira un même nombre de fois. Si O est intérieur à la surface, la ligne doit d’abord sortir de la surface, puis elle peut y pénétrer et en sortir alternativement un nombre de fois quelconque, et finit par en sortir.

Soit : l'angle de OP et de la normale extérieure à la surface, aux points où OP rencontre cette surface : toutes les fois que OP sort de la surface, cose est positif; et il est négatif, toutes les fois que OP pénèêtre dans la surface.

Décrivons une sphère de centre O et de rayon égal à lunité, et faisons décrire à la ligne OP une surface conique de petite ouverture et de sommet O.

Ce cône découpera un petit élément do sur la surface de la sphère, et d’autres éléments dS,, dS,, ... sur la surface fermée aux différents points où elle est rencontrée par la ligne OP.

Or, puisque chacun de ses éléments coupe le cône à une distance r du sommet et sous un angle :,

dS = r?sèce dv; et, puisque R =:er-*, nous aurons R cose dS -- = e du,

le signe + étant pris quand r sort de la surface, et le signe — quand il y pénètre. |

Si le point O est extérieur à la surface fermée, les valeurs positives sont en nombre égal aux valeurs négatives, de sorte que, pour une direction quelconque de 7,

SRcoss dS — 0