DES ÉQUATIONS DE LAPLACE ET DE POISSON

[ Fr cos: as :7 0,

l'intégration étant étendue à toute la surface fermée.

Si le point O est intérieur à la surface fermée, le rayon vecteur OP sort d'abord de la surface, donnant une valeur positive pour e dw, puisil présente un nombre égal d'entrées et de sorties, de sorte que dans ce ca:

et, par suite,

SR cose dS = e du.

En étendant l'intégration sur toute la surface fermée, nous comprendrons toute la surface sphérique dont l'aire est 4x; de sorte que

TPE cose dS -- ire.

De à nous concluons que l'induction totale produite du dedans au dehors d'une surface fermée, par l’action d'un centre de force e placé en uw point O, est nulle si le point O est extérieur à la surface et égale à ire si le point est intérieur.

Puisque, dans l'air, le déplacement est égal à l'induction divisée par 4x, le déplacement à travers une surface fermée, compté du dedans audehors, est égal à la quantité d'électricité comprise dans cette surface.

ConouLaire. — 11 résulte aussi de là que, si la surface n’est pas fermée, mais limitée par une courbe fermée donnée, l'induction totale à travers cette surface est we, w étant l'angle solide sous-tendu en O ar la courbe donnée. Cette quantité ne dépend donc que de la courbe fermée, et la forme de la surface dont cette courbe est la limite pourra être changée d'une manière quelconque, pourvu qu'elle ne passe pas d'un côté à l'autre du centre de force.

Des équations de Laplace et de Poisson.

TI. Puisque la valeur de l'induction totale produite par un seul entre de force à travers une surface fermée ne dépend que de ce seul Point, à savoir si le centre de force est intérieur ou extérieur à la Surface, el ne dépend pas autrement de la position de ce point; si NOUS avons un nombre quelconque de pareils centres e;, €:,... inté- Neurs à la surface, e;, e,, ... extérieurs à la surface, nous aurons

f R cos: dS — 4re,

€ désignant la somme algébrique de toutes les quantités d'électricité Placées aux différents centres de forces intérieurs à la surface fermée,

c'est-à-dire la quantité totale d'électricité comprise dans cette surface, l'électricité résineuse étant comptée avec le signe —.

Si l'électricité est distribuée à l’intérieur de la surface, de facon que la densité ne soit nulle part infinie, nous aurons, par le $ 64,

iTer: ir [ [fe dx dy ds, et par le $ 75, | OX OY OZ ff R cos: dS : [CG TS TE Te) de dy dz.

Si nous prenons pour surface fermée la surface de l'élément de volume dx, dy, ds, nous aurons, en égalant ces expressions,

OX OY 90Z , JE dj 0 1% et, s'il existe un potentiel V, nous trouvons ($ 71) AV AV DV DR DE " 03?

Cette équation, dans le cas où fa densité est égale à zéro, est appelée équation de Laplace. Elle à été donnée pour la première fois par Poisson, sous sa forme plus générale. Elle nous permet de déterminer la distribution de l'électricité, quand nous connaissons le potentiel en chaque point.

Comme au $ 26, nous désignerons par V?V la quantité

2V BV MV

0x pt da et nous pouvons énoncer l'équation de Poisson en disant que la deusité électrique, multipliée par 47, est égale à la concentration du potentiel. Quand il n'y a pas électrisation, le potentiel n'a pas de concentralion, et telle est l'interprétation de l'équation de Laplace.

D'après le $ 72, V est constant à l’intérieur d’un conducteur; donc, à l'intérieur L un conducteur, la densité de volume est égale à zéro, el Loute la charge doit ètre à la surface.

Si nous supposons que, dans les distributions superficielles ou hinéaires, la densité de volume p de l'électricité reste finie et que l'électricité soit sous la forme d'une couche mince ou d’un fil ténu, en faisant croître p et en diminuant l’épaisseur de la couche ou la section du fil, nous tendrons vers la distribution superficielle ou la distribu- Lion linéaire vraies comme limites; et l'équation, restant vraie pendant toute l'opération, restera vraie à la limite, pourvu qu'on l'interprète convenablement selon les circonstances.