DU TRAVAIL QUE DOIT EXÉCUTER UN AGENT EXTÉRIEUR, ETC

Si donc nous représentons par W' l’énergie du système dans l'état e',V'), if) W'--W= Se — eV V')

Mais

W: LS(eV), W'=: LE(e'V).

En substituant ces valeurs dans l'équation (4), on trouve (5) S(eV')=S(e V) (1).

Donc, dans un système invariable de conducteurs électrisés, si l’on considère deux états d'électrisation différents, la somme des produits des charzes dans le premier état par les potentiels des mèmes points des conducteurs dans le second état est égale à la somme des produits des charswes dans le second état par les potentiels des mêmes points dans le premier état.

Ce résultat correspond, dans la théorie élémentaire de l'électricité, au théorème de Green dans la théorie analytique. En choisissant convenablement l’état initial et Pétal final du système, on peut en déduire

un grand nombre d'utiles résultats.

8 b. De (4)et(5), nous tirons une autre expression de l’accroissement d'énergie, en fonction de l'accroissement des potentiels, (6) W'= W= !S(e- e')(V'-. V).

Si les accroissements sont infiniment petits, (4) et (6) pourront sécrire dW= S(Vèe)=— L(edV), el si nous désignons par W.et Wy les expressions de W en fonction des charges ou en fonction des potentiels, par A, un conducteur parüculier du système, par e, et V, sa charge et son potentiel,

r NV,

(8) Vr= der ; JW,

(9) Er — 0Ÿ, °

(‘) [Si h ct ñ sont les deux masses, r Icur distance, on à

' So! vw sn lse(=e | lse( <<), J° 2 r 4 J°

“est-à-dire la ‘formule (5) démontrée indépendamment de toute considération mécanique : cette identité est indépendante de la loi de l'attraction, car on peut substituer à 7 unc fonction quelconque de s sans Ja modifier. (l.)]

86. Si, dans un système invariable de conducteurs, l’un d’entre eu que nous désignerons par A,, n'a de charge ni dans l'état initial, dans l’état final, e, et e, sont nuls pour ce conducteur, en sorte que termes dépendant de A, s’annulent dans les deux membres de l'équ tion (5).

Si un autre conducteur, A,, est au potentiel zéro dans les de: élats du système, V,—oet V,:=0o, et les Ltermes dépendant de / disparaissent des deux membres de l'équation (5).

Si donc tous les conducteurs du système, sauf deux, A, et A., 50 ou bien isolés et privés de charge, ou bien reliés à la Terre, l’équ quation (5) se réduit à la forme

(10) erV, —- es Vs 7 eV, + esV.:

si dans l'état initial

e,==1 et e;—=0o, et si dans l’état final

e., =0 et es =I, l'équation (10) devient

c'est-à-dire que, si une charge égale à l'unité, communiquée à À porte À, au potentiel V, une charge égale à l'unité, communiquée à / portera À, au même potentiel, pourvu que chacun des autres condi teurs du système soil ou bien isolé et privé de charge, ou bien mi la Terre de façon que son potentiel soit zéro.

C'est le premier exemple que nous rencontrons en électricité d'u relation de réciprocité (!). De pareilles relations se trouvent de toutes les branches de la Science et permettent souvent de dédu la solution de problèmes nouveaux de problèmes plus simples et d' résolus.

Ainsi, de ce fait qu’en un point extérieur à une sphère conductr dont la charge est 1 le potentiel est 7-1, r étant la distance du po au centre de la sphère, nous concluons qu’un petit corps ayant u charge 1, et placé à une distance r du centre d’une sphère conductr non chargée, porte le potentiel de cette sphère à la valeur 771.

Supposons maintenant que dans l'état initial

V,zr et V.=o,

') Cette relation de réciprocité deviendra bien plus claire après la lecture

THÉORIE D'UN SYSTÈME DE CONDUCTEURS. 111 et que dans l’état final V, =0o et V;:=1, l'équat x On (10) devient

(12) Es = CAR

c'est-è— cire que, si A, porté au potentiel r induit sur À, une charge e, À, port & au potentiel 1 induira sur À, une charge égale e. Supposons, en troisième lieu, que dans l’état initial V,=1r et e;=o, etque ans l'état final V;.=o et e, = 1,

l'équat a On (10) deviendra dans ce cas (13) e.--V,=0.

Doc , si, À, n'ayant point de charge, le fait de porter A, au potentiel i élève A, au potentiel V, quand on maintiendra A, au potentiel zéro, une charge égale à l’unité communiquée à À, induira sur A, une ch a rge négative dont la valeur numérique est V.

Dans tous les cas examinés, nous pouvons supposer que certains des conduc teurs soient isolés et privés de charge, et que les autres soient reliés à la Terre.

Le troisième cas est une forme élémentaire d'un des théorèmes de Green. Comme exemple de la façon de l'employer, supposons que nous ayons déterminé, pour les divers éléments d’un système conducteur maintenu au potentiel zéro, la distribution des charges électriques

induites par une charge égale à l'unité communiquée à un corps donné À; du Système.

Soit r, la charge que prend À, dans ces circonstances. Si maintenanlnous supposons À, privé de charge, et les autres corps portés chacun à un potentiel différent, le potentiel de À, sera

(13) \,— — E(reN y).

Par exemple, si en un point donné d’un vase conducteur creux nous 8VOn$ déterminé la densité superficielle de la charge induite par l'unité de charge placée en un point donné à l'intérieur du vase, et si NOUS Connaissons la valeur du potentiel en chaque point d’une surface de même forme et de mèmes dimensions que la surface intérieure du vase, nous pourrons conclure le potentiel en un point intérieur occu- Panl une position correspondant à celle de l'unité de charge.

Done, si lon connaît le potentiel pour tous les points d'une surface

fermée, on peut le déterminer pour tout point intérieur à la surfac pourvu qu'elle ne renferme pas de corps électrisé, et pour tout poï extérieur, pourvu qu'il n'y ait point de corps électrisé au dehors ( la surface.

Théorie d'un système de conducteurs.

87. Soient À,,A:,..., A4, n conducteurs de forme quelconque; soie Ci ea. en leurs charges, et V,, V;,...,V, leurs potentiels.

Supposons que le milieu diélectrique qui sépare les conducteu reste le mème et ne se charge point d'électricité au cours des opéri lions que nous avons à considérer.

Nous avons montré au $ 8% que le potentiel de chaque conducta est une fonction linéaire homogène des x charges.

Donc, puisque l'énergie électrique d'un système est la demi-somn du produit du potentiel de chaque conducteur par sa charge, l'ént ie électrique doit être une fonction homogène du second degré d n charges, de la forme

5) W.= ! e?- exes— | e2- es e2-:- ester | 2 (19) e— 3Pu€i- Piste 3P22€ 3 Pis3C1€3-— Paseaes— Passez... —

l'indice e signifiant que W est exprimé en fonction des charges. Lo qu'on écrit W sans indice, on a en vue l'expression (3), où figurent charges et les potentiels.

On peut déduire de cette expression le potentiel d'un quelconq des conducteurs ; car, puisque le potentiel est défini le travail qu'il fa accomplir pour amener Funité d'électricité du potentiel zéro au p: tentiel donné, et puisque ce travail se dépense pour accroître W, not n'avons qu'à différentier W, par rapport à la charge d'un conducta donné pour obtenir le potentiel de ce conducteur (!). Nous obtenoi

(') [On a en effet ($ 84)

d'où, à la limite,

lorsque la seule variable est la charge du conducteur. Le lecteur doit se famili riser avec les différents points de vue suivant lesquels on peut considérer le ti vail des forces électriques : à chaque point de vue correspond une variable inc pendante différente. La première fois ($ 70) que l'expression analytique du trav a été introduite, la variable indépendante était la distance; ici, c’est la charg plus loin (équations 18, ra ct 21). c'est le potentiel. Les deux éléments e ct entrant symétriquement dans l'expression de l'énergie W = ze, on est co duit naturellement aux deux systèmes symétriques de relations (15), (16)