ÉNONCÉ DU THÉORÈME DE GREEN

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ce qui est égal à zéro, d'après le théorème III.

membre de

%6 ce. Si la région 5 a des connexions doubles ou multiples, on peut la ramener à être acyclique, en fermant chacun de ses circuits par un diaphragme.

Soient s, l’un de ces diaphragmes et K, la constante cyclique correspondante, c'est-à-dire la quantité dont croit W, lorsqu'on décrit une fois le circuit en marchant dans le sens positif. Puisque la région 5 s'étend des deux côtés du diaphragme s,, chaque élément de s, paraîtra deux fois dans l'intégrale de surface.

Si nous supposons la normale v, tracée du côté positif de ds, et v! menée du côté négatif,

db SR db

dy, = dy;

y = Yÿ, + K,

€n sorte que l'élément de l'intégrale de surface correspondant à ds, sera

dd db ld: ds; #, ds. | Si donc la région s a des connexions multiples, le premier membre de l'équation (4) devra s’écrire

Ù y À ds— SJ 4 -KfÎZ ae = din ff [W.vr.ds,

la première intégrale de surface devant être prise sur la surface limite, et les suivantes sur les différents diaphragmes, chaque élément d'un diaphragme n'étant compté qu’une fois, et la normale étant menée dans le sens positif du circuit.

La nécessité de cette modification du théorème dans le cas des surfaces à connexions multiples a été signalée par [Telmholtz (!), et la Modification faite par Thomson (=).

(1) Sur les intégrales des équations d'Hydrodynamique qui se présentent dans les mouvements tourbillonnaires [Journ. de Crelle, 1858. Traduit par Tan, Phil, Mag., 1867 (1)].

(°) Sur Le mouvement tourbillonnaire ( Trans.Roy.Soc.Edinb., 1. XXV, Part I, P- 211, 1863).

ds; — = — K; ap dsi.

Y dy 1

(ja)

96 d. Supposons maintenant, avec Green, qu'une des fo soit P, ne satisfasse pas à la condition de rester finie, ainsi que rivées, à l’intérieur de la région donnée; mais qu'elle devienn au point P, et en ce point seulement de la région, et que près

e e « CR . e.

valeur de soit D, + => Où +, est une quantité finie et contin

est la distance au point P. Ce sera le cas, si + est le patentiel : quantité d'électricité e concentrée au point P; et 2° d'une « d'électricité distribuée de facon que sa densité de volume ne finie en aucun point de la région considérée.

Supposons maintenant une sphère très petite, de ravon à. du point P comme centre; alors, dans la région extérieure à la et intérieure à la surface s, d ne présente point de singularité peut appliquer le théorème de Green, en se souvenant qu'il fa compte de la surface de la petite sphère lorsqu'on prend l'inté surface.

Pour prendre l'intégrale de volume, on retranchera de l'i correspondant au volume de la région entière celle qui corres volume de la petite sphère.

Mais, pour cette sphère,

[FT e-vv.ax dy ds

ne peut être numériquement plus grand que

(Fr) f f. f d dr dy d:

(F2W), (area? -+ irasdb,),

ou que

l'indice g appliqué à une quantité désignant la plus grande des numériques de cette quantité à lintérieur de la sphère. Cette intégrale de volume est donc de l'ordre de a°,et f négligée quand a décroit et finit par s'annuler. L'autre intégrale de volume

JS f-e.4x dr a:

ne peut être numériquement plus grande que (vb), ire:

elle est donc de l’ordre de a’ et peut ètre négligée quand a «