ÉNONCÉ DU TIHÉORÈME DE GREEN

d Fu [f*: PH pri

ne peut être numériquement plus grande que

ur + [ [< ds.

Or, d'après le théorème IF,

[PS ds — -- ITA dy d3, U dy . *

ce qui ne peut être numériquement plus grand que

L'intégrale de surface

S « « e à la surface, &, a à peu près la valeur =? de sorle que [a ° ds né peut ètre numériquement plus grand que

$rate(ViW'),;

l'intégrale est donc de l’ordre de a?, et peut être négligée quand a s'annule.

Maïs l'intégrale de surface qui est dans le second membre de l'équalion

éSannule pas, car

LS VU”, est la valeur de VW au point P,

cp FPE a ds - -{TreW,s.

L'équation (4) devient donc, dans ce cas,

{ La Jr ds LIT \'. À ? I .d - À ie e \ L] U

Ja. Nous pouvons à appliquer ce cas du théorème de Green, ainsi

que fait Green lui-même, à la détermination de la densité superfcielle dans une distribution qui produit un potentiel dont les valeurs sont données au dedans et au dehors d’une surface fermée donnée. Ces valeurs doivent se confondre sur la surface; à l'intérieur de la surface, on doit avoir V?% — 0, et à l'extérieur V?W”/— 0.

Green commence par la méthode directe, c’est-à-dire que, étant donnée la distribution de la densité superficielle o, 1l trouve les poter- Liels en un point intérieur P et en un point extérieur P’, en intégrant les expressions

(9) Vp l / ds, Ve f f F ds,

où et” sont mesurés à partir des points P et P’. . . I . , « .

Soit maintenant D =- PL En appliquant le théorème de Green à le

pace intérieur à la surface, et en se rappelant que V?+ — o et que V34°--.0, on trouve

(10) re —— -- 4TWp ds - DE Te ds,

où Ws est la valeur de F au point P.

De même, si nous appliquons le théorème à l'espace compris entre la surface $ et une surface qui l'entoure à une distance infinie a, la partie de l'intégrale de surface correspondant à cette dernière surface

* 1 « , ° , sera de l'ordre de =; et pourra être négligée; et l'on aura €

| u r : 1 dd" (11) LP dr ds == [ Lo ds.

Or VW: 4" à la surface, et puisque les normales v et y’ sont menées

en sens INVerses, # 1 Ln s I \ d( - | d'( y TA

Donc, en additionnant les équations (ro) et (11), les seconds membres se déterminent l’un l'autre, et l'on à

\ y” (12) : sauve ff ( (Se er)

97 b. Green démontre aussi que, si l’on se donne arbitrairement la valeur du potentiel en chaque point d'une surface fermée s, on peut