FONCTION DE GREEN
er le potentiel en un point quelconque intérieur ou extérieur ice. .
effet, il suppose une fonction #, telle que sa valeur soit : près
. , « I 0 9 « , P, sensiblement égale à =5 et, à la surface, égale à zéro; et
— © pour tout point intérieur à la surface.
démontre l'existence d'une pareille fonction par cette consiphysique que, si $ est une surface conductrice reliée à la si l'unité d'électricité est placée au point P, le potentiel à
r de s devra satisfaire aux conditions imposées. Car, s étant
a terre, le potentiel sera nul en tous les points de s; et puisque
iel est dà à l'électricité de P et à l'électricité induite sur s, en tout point intérieur à la surface.
quant à ce cas le théorème de Green, on trouve
Vo. LA?
À = WVp : ff à ds
s l'intégrale de surface, W' est la valeur du potentiel donnée ément ds; et, puisque, sP étant la densité de l'électricité inrs par l’unité d'électricité placée en P,
db
+7 TP -:- PE 9; n (13) peut s'écrire
Vo f [#.s.8s,
la densité superficielle de la charge induite sur ds par l'unité ité placée en P.
si pour une position particulière de P on connaît la valeur ‘haque point de la surface, on pourra calculer par une simple on le potentiel en P. dans l'hypothèse que l'on se donne le en chaque point de la surface, et qu’à l’intérieur de la surotentiel est soumis à la condition
lémontrerons plus loin que, si l’on a obtenu une valeur de W nt à ces conditions, cette valeur est la seule qui existe. Fonction de Green.
it une surface fermée s, maintenue au potentiel zéro. Soient 2ux points du côté positif de la surface (nous pouvons prendre
à volonté l'intérieur ou l'extérieur par côté positif); et soit corps chargé de l'unité d'électricité et placé en P. Le potentiel formé de deux parties, l’une due à l’action directe de l'électric l’autre due à l’action de l'électricité induite par P sur s. C nière partie du potentiel est appelée fonction de Green, et se par G 9.
Cette quantité est une fonction des positions des points P sa forme dépend de la surface s. Elle a été calculée dans le est une sphère, et dans quelques autres très peu nombreux présente le potentiel au point Q dà à la charge induite sur sp: d'électricité placée en P.
Le potentiel effectif en un point Q, dà tant à l'électricité ] P qu'à la charge induite sur s, est
ec Cor l'hg désignant la distance de P à Q.
Sur la surface s, et en tous les points situés du côté négati potentiel est nul; donc (1) Gpa =")
l'pa l'indice a indiquant qu'au lieu de Q on prend un point A st face s.
Désignons par os, la densité superficielle induite par P su: A’ de la surface s; G,, étant le potentiel de Q dû à cette dis superficielle
Tpr (2) Gpg = IE “EE.
ds' étant un élément de la surface s pris au point À’, et l'in s'étendant à toute la surface s.
Mais, si l'unité d'électricité avait été placée en Q, nou: par l'équation (1) ( 3) Te — Gya'
l'ya’
. Tya (4) - [f2 .
laa'
ya étant la densité de la charge induite en A par Q, ds un de surface, et 7,4’ la distance de A à A".
Substituant dans l'expression de G,, cette valeur de —
