COTON HEZ
Or le premier terme est l'énergie du système due aux charg ficielles; le second, celle qui est due à l'électricité distrib: toute l'étendue du champ, s'il en existe ainsi distribuée.
Le second membre représente donc l'énergie électrique : système, le potentiel F y étant une fonction donnée de r, y e
Comme nous aurons souvent l’occasion d'employer cette : de volume, nous la désignerons par l’abréviation Ww, en sor
, qu: dr: /ow : | DD MCE
Si l'on n'a de charges que sur les surfaces des conducteurs, p second terme du premier membre de l'équation (20) disparai
Le premier terme est l'énergie du système électrisé exprimée au $ 8%, en fonction du potentiel et de la charge de chaque Leur : c'est cette expression de l'énergie que nous désienonsp
99 b. Soit Y une fonction de x, y, 3 soumise à la conditior en chaque point d’une surface fermée s une valeur connu valeur de Y pour des points non situés sur la surface s est d absolument arbitraire.
Posons
- 1 oO: "0 © T2 RE IC EPA
l'intégration s'étendant à tout l'espace compris à l'intérieur di face. Nous allons démontrer que si Y, est une forme particulie
FONCTION DE GREEN. 143 qui satisfait à la condition à la surface, et qui, en outre, satisfait en chaque point intérieur à la surface à l'équation de Laplace
(23) VW, =o,
la valeur W, de W, qui correspond à W,, est plus petite que la valeur correspondant à toute autre fonction différant de W, en un point intérieur à la surface.
Soit, en effet, W une fonction quelconque, qui se confond avec VW", pour tous les points de la surface, mais non plus pour les points qui sont intérieurs à cette surface; posons
(24) w-=w, vw.
où Ÿ, est une fonction qui s’annule en tous les points de la surface. La valeur de W correspondant à W sera évidemment
W= Wii Wa
ep) 1 0‘, OW'e Wii 2 NN SNS Go ee)
D'après le théorème de Green, le troisième terme peut s'écrire
° L 'eN SELS vu” dd Ê (26) 2 [[S .ViV.dS 3 D AE D ds.
Ür l'intégrale de volume s'annule, puisque V?#, — o à l’intérieur de la surface; l'intégrale de surface s’annule aussi, puisque W,— o à la surface; donc l'équation (25) se réduit à la forme
(27) W == W,-- Wa.
Les éléments de l'intégrale W,. étant des sommes de trois carrés, lé peuvent prendre de valeurs négatives, et l'intégrale elle-même ne Peut être que positive ou nulle; donc, si W, n’est pas nul, il est posf et West plus grand que W,. Mais, si W, est nul, chacun de ses “tments doit être nul, et, par suite,
Pour Cous les points intérieurs à la surface; W, doit donc être une con- ‘lante dans tout l'intérieur de cette surface, et, comme We, — o sur la ce. W,— o en tous les points intérieurs, et F —",; c'est-à-dire Ve SA VW n'est pas plus grand que W,, F doit forcément être identique # € n tous les points intérieurs à la surface.
re sulte de là que VW, est la seule fonction de x, y, : qui devienne
égale à W à la surface et qui satisfasse à l'équation de Laplace en us les points intérieurs.
Car. si ces conditions étaient également remplies par une autre fosion Y’.. W, devrait ètre inférieur à toute autre valeur de W. Mas nous avons déjà démontré que VW, est plus petit que toute autre leur, et. par suite, que W,: donc il ne peut exister de fonction difé rente de Y, qui satisfasse aux conditions.
Le cas qui nous +era le plus utile est celui où le champ est limité par une surface extérieure set par un nombre quelconque de surfacs
intérieures $,, 5,. .... et où Îles conditions sont que soit nul surs et qu'il soit égal à W,,#,, ... sur s,. se. .... W,. W.. ... étant des
constantes pour chaque surface. comme c'est le cas pour un système de conducteurs dont les potentiels sont donnes.
De toutes les valeurs de Y' satisfaisant à ces conditions, celleh donne la valeur minimum de Wy-. pour laquelle V°W — o en chaque point du champ.
Théorème de Thomson.
LEMNME.
100 a. Soit Y une fonction de .r. v.. :, finie et continue à l'interieuf d'une surface fermée s. et prenant sur certaines surfaces fermées S2. -.., 5, des valeurs #,,W,..... W,. constantes pour chaque surfact-
Soient u, #. w° des fonctions de x. v. 3 que l'on peut regarde
. é comme les composantes d'un vecteur $ soumis à la condition 5° noïdale
° 2K) AT y .
Posons. dans le théorème IE, 29) X=VWu, Y=W%e, Z=Vw;,
le résultat de ces substitutions est | h [proton - MmpV — ApW). Sp / 0 ) 130) 4 = TE dr dy d:
EE ov 0 oo | DIE rem we )drdrd:=e, « LA
les intécrales de surface s'étendant aux différentes surfaces, et les in tésrales de volume au champ tout entier.
TUÉORÈME DE THOMSON. 149
nière intégrale de volume s'annule en vertu de la condidale imposée à uw, # et w; les intégrales de surface s’annu- $ cas suivants :
: o en chaque point de la surface :
+ mv + nv = 0 en chaque point de la surface ;
urface est entièrement formée de parties qui satisfont aux ditions (1) ou (2).
st constant sur toute la surface fermée et que
J (lu — mv — nw) ds = 0.
quatre cas, l'intégrale de volume
{ oW 0W W\ 1 ff fur +eg+w 5) dr dyds =0
pnsidérons un champ limité par la surface fermée -enté. par les surfaces fermées intérieures s,, s,, ....
1e fonction de x, y, 3 finie, continue et satisfaisant à l'équaace
VIiw—o
* du champ, et prenant sur les surfaces s,,s,, ... les valeurs constantes, mais non données, et la valeur zéro sur la sur- >ure $.
re de chacune des surfaces conductrices telle que s, est l'intégrale de surface
ei, — = [Se ds 4) J du
v, étant menée de la surface s, vers l’intérieur du champ
“ent maintenant f, g, des fonctions de x, y, 3 que l’on peut mme les composantes d’un vecteur D, soumises seulement ions : de satisfaire en chaque point du champ à l'équation
of og
dr dy 05 '
sur chacune des surfaces fermées s,, la relation
ffur+ ULFE SE - 4) ds; T Cl
flect. et de Magn., 1. 10
où L, m,, x, sont les cosinus directeurs de la normale v,, men la surface s, vers l'intérieur du champ électrique, et où e, est lai quantité que dans l'équation (33), c'est-à-dire, en fait, la charge trique du conducteur dont la surface est s..
Considérons la valeur de l'intégrale de volume
135) Wo:-27 [ [fer &°-+ h?) dr dy dz.
étendue à tout le champ intérieur à s et extérieur à s,, s,, et co rons-la à
les limites de l'intégration étant les mèmes.
Posons I NW 1 0 1 oŸ (38) ufr Gr? - 87 ÿr 0y’ = h- 53 03 et 139) Ws arf f QU? 6? w?) dx dy ds.
Alors, puisque
! ‘ow° oW \?2 0?
2... eo. 2 — — — —— -….— — .- È 32 DT [Car Cr.) | (ze) | CT
1; 0 OV" (uses a — , 27 \ OT y ) F ow° OÙ" | Ws— J + :
co) Wp Wu- VW: J J{ u = — "> w ) dx dr d:
mais, en premier lieu, &, 6, « satisfont à la condition solénoïd: tous les points du champ, car on a, d’après les équations (38), ou Je du of Jg 0h L
(1) rer
(IR à 0y 05 (LE à dy ds 17 V4,
et, d'après les conditions exprimées par les équations (34) et
les deux termes du second membre de l'équation (41) sont nuls. En second lieu, l'intégrale de surface
| f fe U-- M0 -- A1) ds)
C2 1 S(d“w = [far mig--nrh)ds, -- a [F5 ds:
mais, d'après (35), le premier terme du second membre est €, et, d'après (33), le second terme est — e,, de sorte que
(13) J {ue m0 — A1) ds, — 0.
Done, puisque W', est constant, la quatrième condition du $ 100 a est satisfaite; le dernier terme de l'équation (40) est nul, et cette équation se réduit à (41) Wp = Wy + We.
Mais, puisque l'élément de l'intégrale W, est une somme de trois carrés, ilest ou nul ou positif. Si donc, en un point quelconque du champ, u,setw ne sont pas tous nuls, l'intégrale W ; a une valeur positive, et, par suite, Wa est plus grand que Way. Mais les valeurs
UuU—=V—= WW — 0,
Pour tous les points, satisfont aux conditions. Donc, si en chaque point
1 OÙ 1 0 1 0 { J D — — —— — — = —— —— P) f 4T Ur’ & 17 dy” ñ {7 03° On à (46) Wo = Wy:.
€! la valeur de Wy correspondant à ces valeurs de f, , k est plus Petite que la valeur correspondant à toutes autres valeurs différentes de f, £,h.
Done, lorsque la charge de chaque conducteur est donnée, il y a ‘ne et une seule solution du problème qui consiste à déterminer pour chaque point du champ le déplacement et le potentiel.
Ce théorème, sous une de ses formes plus générales, à été énoncé Four la première fois par Sir W. Thomson (1). Nous montrerons plus loin de quelle généralisation il est susceptible.
100 4. On peut modifier ce théorème en supposant que le vecteur D, au Lieu de satisfaire en tous les points du champ à la condition solénoïdale, satisfait à la condition 117) Of 0g 0h
ox dy A \ nn
jt , . . . a .
Ü) Cambridze and Dublin Mathematical Journal, février 1S4N.
où p est une quantité finie, dont la valeur est donnée pour chaq du champ, et qui peut ètre positive ou négative, continue ou tinue, pourvu que son intégrale de volume, prise pour uné finie, reste finie.
Nous pouvons aussi supposer que, sur certaines surfaces cc dans le champ,
(48) f-mg--nh-lf mg -nk=s,
où /,m,n,l', m', n' sont les cosinus directeurs des normales en un point de ces surfaces vers les régions pour lesquelles 1] posantes du déplacement sont respectivement /,g,h et f',g',h est une quantité donnée pour chaque point de la surface, don grale, prise sur une surface finie, est finie.
100e. Nous pouvons aussi changer les conditions aux sui miles, en supposant qu’en tout point de ces surfaces
(49) f+mg+nk= 5,
où 5 est donné pour chaque point.
(Dans l'énoncé primitif, on supposait seulement donnée E de l'intégrale de s sur chacune des surfaces. lei nous sup}r valeur donnée pour chaque élément de surface, ce qui revie considérer dans l'énoncé primitif chaque élément comme unt indépendante.)
Aucune de ces modifications ne porte atteinte à l'exacti théorème, pourvu que l'on se souvienne que W doit satisfaire : ditions correspondantes, c'est-à-dire à la condition générale
ER à LE à v
(50) dr= dr — os + 172 — 0 el à la condition à la surface G ay dv, 21 —— + —- TT =0; PRET PRIS LE ar si, comme précédemment, f 1 1 Oo h 1 où + 17 —uUu Vs = f° LH. - - = 4 ir Or 7 47 0y ’ 47 05 ?
u, 6 et «y salisferont à la condition solénoïdale générale
ou he | hr dr op 03
THÉORÈME DE THOMSON. 149 à la condition à la surface lu — mo nw -- l'u'-- m'e-- n'w 20, et à la condition à la surface limite lu + mo -+ nw — 0;
d'où nous tirons, comme plus haut,
\ ° jt :
M= f f(u LE +01 eo dr dy dz: =0 « J \ dr 0y 03 °
Wo = Wy-— We.
el
Donc il est démontré, comme précédemment, que W, prend sa valeur minimum unique, lorsque W+ est nul, ce qui suppose que £ est nul partout, ou que
102 a. Dans l'énoncé de ces théorèmes, nous nous sommes tenus jusqu'à présent renfermés dans cette théorie de l'électricité qui admet que les ph & nomènes électriques dépendent seulement de la forme, de la position relative et de la charge des conducteurs, mais qui ne tient pas
Compte de la nature du milieu diélectrique qui sépare ces conducleurs
D'a près cette théorie, par exemple, il v a une relation invariable titre La densité superficielle sur un conducteur et l'intensité électro- Motri Ce aux points extérieurs voisins de la surface : c'est ce qui est EXPFE a é par la loi de Coulomb
Ma à - ceci n’est vrai que dans le milieu que l’on prend pour type; ce milie Ua peutètre l'air. La relation n'est plus la même pour d'autres milieux +. ainsi que l'a démontré Cavendish, qui ne publia cependant point +3 dé «> ouverte, et ainsi que plus tard l'a retrouvé Faradav sans avoir Four € sance des travaux de Cavendish.
Poux rexprimer complèlement les phénomènes, nous reconnaissons
la ® , LA , Cr . . % PC essité de considérer deux vecteurs, liés par une relation diffé-
- Len . A CL « « .. . , ,
FEUS pour les différents milieux. L'un d'eux est l'intensité électro-
moti-
. te; l'autre, le déplacement électrique.
| La Vatensité électromotrice est lite au potentiel par des équations de LIBR LS invariable; le-déplacement électrique est lié par des équations de fs ame invariable à la distribution de électricité; mais la relation
de l'intensité électromotrice et du déplacement électrique dépend de la nature du milieu diélectrique, et doit s'exprimer par des équations dont la forme la plus générale n'a point encore été entièrement déterminée jusqu'à ce jour, et ne peut se déterminer que par des expériences sur les diélectriques.
101 b. L'intensité électromotrice est un vecteur, défini au $ 68, comme étant le quotient de la force mécanique qui agit sur une petite quantité e d'électricité divisée par cette quantité e. Nous désignerons ses composantes par les lettres P, Q, R et le vecteur lui-même par la lettre €.
En électrostatique, l'intégrale de ligne de € est toujours indépendante du contour d'intégration; en d'autres termes, € est la variation dans l'espace d'un potentiel ; d’où
ou, plus brièvement, dans la notation des quaternions, E——VY.
101 c. Le déplacement électrique, dans une direction quelconque, a été défini au $ 68 le quotient de la quantité d'électricité transportée à travers une petite aire À, dont le plan est normal à la direction considérée, divisée par cette aire À. Nous désignerons par /, g, h les composantes du déplacement, par 3 le vecteur lui-mème. La densité de volume en un point quelconque est définie par l'équation df . 0g odh 7 dr dy 03 ou, dans la notation des quaternions, £ = — S.VD.
La densité superficielle en un point d’une surface électrisée est définie par l'équation s=dfimeg+nh--lf > m£g- n'h, où f, g, h sont les composantes du déplacement d’un côté de la surface, et /, m, n les cosinus directeurs de la normale menée à la surface de ce côté, et où f”, g', k', et l', m', n'sont les composantes du dépla-
cement, el les cosinus directeurs de la normale, de l’autre côté de la surface.
Dans la notation des quaternions, cette relation s'exprime par l'-
quation s——(S.UvD -S.LvD),
où Let CU’ sont les normales unités des deux côtés de la surface, et où S indique que l'on doit prendre la partie scalaire du produiL.
Si la surface est celle d’un conducteur, et v la normale extérieure, f’, g', k' et D' sont nuls, et l'équation se réduit à
o= df-:- mg; -nh 5 = —S. Us D.
La charge totale du conducteur est donc
e = [fu - mg -nh)ds. [fS.U,.n.ds.
101 4. Ainsi qu'on l'a fait voir au $ 8%, l'énergie électrique d’un système est égale à la demi-somme des produits des charges des conducteurs par leurs potentiels respectifs.
W -- - : Sew
— SJ oW.dx dy ds — = FUN ds re -mg .-nh)ds,
où l'intégrale de volume doit ètre prise pour toute l'étendue du champ électrique, et l'intégrale de surface sur les surfaces des conducteurs. Posons, dans le théorème IT, $ 21,
