X-=W/, Y=Wg, Z--Wh, nous trouvons
[fre - mg--nh)ds ef ff CS Dos dy d:
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substituant cette valeur à l'intégrale de surface dans W, nous trou-
r I of . ao NT nr W . — FI SE ET ch) dr d d=
ons
W=: [ [fire - #0 RR) dr dy ds.
{01e. Nous arrivons maintenant à la relation entre D el €.
L'unité d'électricité est habituellement définie d'après des exp riences faites dans l'air. Qr nous savons, par les travaux de Boltzman que la constante diélectrique de l'air est un peu supérieure à celle t vide et varie avec la densité; donc, en toute rigueur, toutes les m sures de quantité d'électricité devraient être affectées d'une corre tion pour les ramener, soit à une pression et à une température nt males dans l'air, soit au vide, ce qui serait plus scientifique; de mët que les indices de réfraction, mesurés dans l'air, exigent une corr! tion semblable, cette correclion étant d'ailleurs assez petite dans deux cas, pour n'être sensible que dans des mesures d'une extre précision.
Dans le milieu choisi comme milieu normal
1rD- € ou
irf :P, j7g-Q, rh R.
Dans un milieu isotrope, dont la constante ditlectrique est KW,
17rD--KRE, iRf== KP, jeg:.KQ, irh= KR.
Mais il v a certains milieu, et le verre est un de ceux qui out ét plus soigneusement étudiés, pour lesquels la relation entre D et € plus compliquée et fait intervenir la variation dans le temps d'une ces quantités ou de toutes deux; la relation doit alors être de la fo:
./ OD dE D 91€ ARS Ex 0e 07° :) Tr
Pour l'instant, nous n'essaverons pas de discuter des relations celte forme plus générale, et nous nous bornerons au cas où D est lonction linéaire et vectorielle de €.
La forme la plus générale d'une pareille relation peut ètre re sentée par
JD :c(ÈÉ),
où, dans l'étude actuelle, & représentera toujours une fonction liné et vectorielle. Les composantes de D seront donc des fonctions linéa et homosènes des composantes de €, et pourront être mises sou:
TIHÉORÈME DE THOMSON. 193
forme
iTh —- K-> P K:,
où le premier indice de chaque coefficient K indique la direction du déplacement, et le second la direction de l'intensité électromotrice.
La forme la plus générale d’une fonction linéaire et vectorielle comprend donc neuf constantes arbitraires. Si les coefficients qui ont le mème couple d'indices sont égaux, la fonction est dite autoconjuguce.
Si nous exprimons É en fonction de 9, nous aurons
! . . . L « 4 élant la fonction inverse de &, d'où
— ITA rrf fr £g s fer h), Q — ITA —- K vr A LES h), R= ire - hys sg Ki 0).
101. Le travail accompli par l'intensité électromotrice dont les
"Mposantes sont P,Q,R, pour déterminer dans l'unité de volume du milieu un déplacement dont le: composantes sont 4f, dg, dh, est
dW:-Pdf--Qug--Rdh.
Puisqu' un diélectrique, soumis à un déplacement élertrique, constilue un système conservatif, W doit ètre une fonction de f, z, k; es Puisque /, £, À peuvent varier indépendamment, ou doit avoir
D -- ON ,. 0W R -— IW | n 0 oh d'où 9P JW 2 W 10 | . de nf dg En os 0f of É
Mars | ‘
oP
de — TA yes
‘oeffirient de .r dans l'expression de Q.
Done, si un diélectrique constitue un système conservalif (et nous
savons qu'il en est ainsi, puisque ce système peut conserver son énergie pendant un temps indéfini),
Kry = Kyr
et + est une fonction autoconjuguée.
Il'en résulte que o est aussi autoconjugué, et que
Ky 7 K,r.
101 :. L'expression de l'énergie peut donc ètre mise sous l’une ou 8 D l'autre des formes
—. [ ff Rerrs - K,, Qt -- K::R?
-2K,;-QR ---2K.L-RP + ak, PQ) dr dy dz,
DT [Lan ke. -K:. ht?
-—24,.gh--2k%..hf .-2k:,f2) dr dy ds.
l'indice exprimant en fonction de quel vecteur est exprimé W. Quand Hnvapas d'indice, il faut entendre que l'énergie est exprimée en fonction des deux vecteurs.
Ainsi, nous avons en tout six expressions différentes de l’énergie d'un champ électrique. Trois d'entre elles font intervenir les charges et les potentiels à la surface des conducteurs; elles sont données au $ 87.
Les trois autres sont des intégrales de volume prises dans toute l'étendue du champ, et font intervenir les composantes de l'intensité électromotrice, ou du déplacement électrique, ou de ces deux quantités à la fois.
Les trois premières appartiennent donc à la théorie des actions à distance; les trois autres, à la théorie des actions propagées à Lrav ers un milieu interposé entre les corps.
Ces trois expressions de W peuvent s'écrire
w . ! fffsne.u.
We - J [fS.€s era:
Wo-- ras [ [fsnenias.
101 2. Pour étendre le théorème de Green, au cas d’un milieu h&-
térogène non isotrope, nous n'avons qu'à poser dans le théorème II
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h | Raz UN} Krs dy K: 05 )
JP 7H D 1)
[ = ( ® , ‘ —.-K.. — us è ; Ra dr Ko ov Ko: 03, Lu 0 … 00 .. 0%:
LU (Rae DE + Rare + Ke
Nous obtenons ainsi, en nous souvenant que l’ordre des indices est indifférent,
. | k D - ‘ OA [F Ce = K,zm + K:2n) JE - (Kzry lt Km K:,n) dy
—— (K:-2/ — K:, 71 -. K--7 ) . | ds
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