TT QE

Soit à trouver une limite supérieure de la capacité. Imaginons valeur de Y qui soit égale à 1 sur s, et à o sur $,, et calculons 1: leur de l’intégrale de volume

. D? fob\? fob\: dz ALES FT |CS) (ir) 7 (55) [EX ds

pour toute l'étendue du champ.

LIMITES ENTRE LESQUELLES DOIT ÊTRE COMPRISE, ETC. 157 On a démontré ($ 99 b) que W ne peut être supérieur à Wa; la capacité g ne peut donc être plus grande que 2W%w.

Soit maintenant à trouver une limite inférieure. Imaginons un srstème de valeurs de f, g, A satisfaisant à l'équation

6) dr dY Us 0 ainsi qu'à (6) [fear mg + nh)ds; TT 61,

et calculons la valeur de l'intégrale de volum :

{») Wo - a f [ fu ge D?) de dy «ds,

pour toute l'étendue du champ. On a démontré ($ 100c) que W ne peut ètre plus grand que W',; la capacité ne peut donc être inférieure à

La méthode la plus simple pour obtenir un système de valeurs de /,8,h, qui satisfasse à la condition solénoïdale, est de supposer l’éleclricité répandue sur la surface s, et sur la surface s,, de facon que la ‘°Mme de ces charges soit nulle. On calcule alors le potentiel # dû à lle distribution, et l'énergie électrique du système ainsi disposé, que l'on peut appeler W,..

Si alors nous faisons

1 oo f=— in in Or C à - . . ., , De .

*S Valeurs de f, z, À satisferont à la condition solénoïdale. Mais, dans C , Lé T7 Le Cas, nous pouvons déterminer VW, sans passer par la recherche *. ñ . e .

Itévrales de surface

(91 Wo = = ff vs ds, + : [#50 «so,

Où Ja première intégrale est étendue à la surface s,, et la seconde 4 la surface So:

Si la surface s, est à une distance infinie de s,, le potentiel sur 5, est Mu, et le second terme disparait.

101 db. Toutes les fois qu’on cherche la distribution de l'électrs sur des conducteurs dont le potentiel est donné, on peut obtenir la manière suivante une solution approchée du problème.

Soit s, la surface d’un conducteur ou d'un système de conducte maintenus au potentiel 1 ; soit s, la surface de tous les autres cond teurs, y compris le conducteur creux qui entoure tout le reste, qui peut, dans certains cas, être supposé à une distance infinie : autres.

Commencons par mener une série des lignes droites ou courb de s, à So:

Supposons que sur chacune de ces lignes W soit égal à 1 ens;, à oen s,. Alors, P étant un point quelconque sur une de ces lisn Ps Si So

Nous obtenons ainsi une première approximation de Y qui satisf à la condition d’être égale à 1 sur s, et à o sur ss.

La valeur de Ww, calculée d'après W,, serait plus grande que \

Comme deuxième approximation des lignes de force, suppose

nous pouvons prendre comme première approximation W, —

que ow ow (Lo) J=-p-rr 8=—-P-—

Le vecteur, dont les composantes sont f, g, h, est normal aux st faces pour lesquelles W, est constant. Déterminons p de facon q , &, À satisfassent à la condition solénoïdale. Nous avons ainsi

MW, VW Ex) Jp 0Wi dp di op M

11 a - —— + — ua) p ( Oxt 0° 05? , Ur 0x dy dy 7 03 03

Si nous menons de s, à 5, une ligne qui soit constamment normz aux surfaces pour lesquelles W est constant, et si nous désignons pa la longueur de cette ligne mesurée à partir de 5,,

dr … 0W'; dy W, da Ù, (12) Ru 0 NB ND ’ *° Le , , . « dYw R étant l'intensité résultante égale à — ds? de sorte que 0p Of dpow dpw dp y: AP

et l'équation (11) devient

(15) pv = R! sp

LINITES ENTRE LESQUELLES DOIT ÊTRE COMPRISE, ETC. 199 d'où

A va [ LU ap,

t19) p-:te

l'intégrale étant une intégrale linéaire prise le long de la ligne s. Supposons maintenant que le long de la ligne s

| ds … dx dy | d'5 : dw, n ad lé dt" a Pa alors vw, y, J R: dw, 7] YWr-: C f e dw,

l'intégration étant toujours effectuée le long de la ligne s. La constante Cdoit maintenant être déterminée par la condition que W,—1 en meme lemps que W, sur s,, c'est à dire que

dY,

Ce qui donne une dernière approximation de W'; on peut répéter cette opération.

Les résultats obtenus par le calcul de Wu, Wo,s Ww,, ... donnent des Capacités alternativement au-dessus et au-dessous de la capacité vraie, et s'en approchant constamment.

L'opération, telle qu'on vient de l'exposer, suppose le calcul de la forme de la ligne s et l'intégration suivant cette ligne, opérations qui “Onlen général trop difficiles pour que l’on puisse les effectuer pratifuement.

Dans certains cas, on peut arriver à une approximation par une méthode plus simple.

102 c. Comme exemple de cette méthode, nous allons l'appliquer à l recherche par approximations successives des surfaces équipotenlelles et des lignes d’induction dans le champ électrique compris entre deux surfaces qui sont à peu près planes et parallèles, mais ne le sont 5 rigoureusement, et dont l’une est maintenue au potentiel zéro et

autre au potentiel 1.

Soient les équations des deux surfaces

= /fh\{r,7)=a

Si sc, et 8, sont les densités superficielles, W, el 4°, les potentielsur les surfaces a et b respectivement

l . . 1 er 3h — eo) (gr ravia— vb).

— me me ne — ———.