CHAPITRE V

103. Soient E, et E; les deux systèmes électrisés dont nous nous proposons d'étudier les actions réciproques. Supposons que la distribution de l'électricité dans le système E, soit définie par la densité de volume p, pour l'élément dont les coordonnées sont z,, 71, 3,. Soit », la densité de volume de l'élément de E;,, dont les coordonnées sont .r+, Vas 3e.

La composante suivant les x, de la force qui agit sur l'élément E, par suite de la répulsion de l'élément E;, sera

Di 22 2 dr dy1 ds: dr: dy: dss avec Fri - ZE (pi Ja) + (si — 5)

et, si À représente la composante suivant les + de la force totale qui agit sur E, en raison de la présence de E;,

11) A ONE P1 0e dr dyi ds: di dys ds,

où Pintégration par rapport à di, »1, 3 s'étend à tout l'espace occupé par E;,, et l'intégration par rapport à x, Y:, 33 à tout l’espace occupé par E.. Mais, puisque 2, est nul, sauf dans le système E,, et 2, nul, sauf dans le système É;, la valeur de l'intégrale ne sera pas changée si nous élendons les limites des intégrations et si nous supposons que ces limiles soient pour toutes les intégrations + œ.

Cette expression de la force n’est que la traduction littérale en s\mboles mathématiques de la théorie qui suppose que la force électrique agit directement à distance entre les corps, et ne tient pas compte

du milieu ambiant.

Si nous définissons W, le potentiel au point x, r,3, dû à la présence du système E, par l'équation

a] v r2 (2) \, [If rs dy'1 d33,

164 1" PARTIE, CHAP. Y. — ACTION MÉCANIQUE, ETC. d', s'annule à l'infini et satisfait en tout point à l'équation (3) Via = 4790.

Nous pouvons alors exprimer À sous forme d'une intégrale triple

Ie (5) = [ff Sndnadrds.

On suppose ici que le potentiel Y, a une valeur définie en chaque pol” s' du champ, et c'est en fonction de cette valeur, ainsi que de la distri” bution », de l'électricité dans le premier système E,, qu'est exprimé ® la force À, sans qu'il soit fait mention explicitement de la distributiof de l'électricité dans le second système E,.

Soit W, le potentiel dû au premier système, exprimé en fonction de r, 3,5 et défini par l'équation

. Ce) (5): vie f ff Saridpidss:

d, s'annule à une distance infinie et satisfait en tout point à l'équation (6) Vi {T1

Nous pouvons maintenant éliminer p, dans A, et nous obtenons

(211 a (7) az" [[f Tr VW dridyidsi.

où Ja force est exprimée en fonction des deux potentiels uniquement.

10%. Dans toutes les intégrations considérées jusqu'ici, il est indifférent de prendre telles ou telles limites, paurvu que ces limites englobent l'ensemble du système E;. Dans ce qui suit, nous supposerons les systèmes E, et E, tels qu'une certaine surface fermée $s renferme la totalité du système E;, sans aucune partie de E,.

Posons alors

(8) = ten VW -W;;

(9) A l'intérieur de s..... Pe = 0, p==Ppi.

( A l'extérieur des... f1:=20, p =»,

alors

(10) Aus f ff Loi ri dy ds:

représente la force résultante parallèle aux r, qui agit sur le système E,

et qui est due à l'électricité de ce système même. Mais, dans la théorie des actions directes à distance, cette force doit être nulle, car l’action d'une molécule P sur une autre Q est égale et oposée à celle deQ sur P, et, puisque les composantes des deux actions entrent dans l'intégrale, elles se détruisent l’une l’autre.

Nous pouvons donc écrire

(n) a=- [ff V2 dr dhi ds,

où Y est le potentiel dù aux deux systèmes, l'intégration étant limitée maintenant à la partie de l’espace située dans la surface fermée s, laquelle renferme en entier le système E;, mais ne comprend aucune partie du système E,.

105. Si l’action de E, sur E, s'exerce non plus directement et à distance, mais par la propagation d’une tension dans un milieu continu s'étendant de E, à E, ; et, si nous connaissons la tension en chaque point d'une surface fermée s qui sépare complètement E, de E,, nous serons en mesure de déterminer complètement l’action mécanique de E, sur E,. Car, si la tension propagée à travers s ne rend pas entièrement compte de l'action exercée sur E,, il faut nécessairement qu’il existe une action directe entre quelque chose d'intérieur et quelque chose d'extérieur à s. |

Si donc il est possible de rendre compte de l’action de E, sur E, au moyen d’une tension propagée à travers le milieu ambiant, il doit ètre possible d'exprimer cette action sous forme d’une intégrale étendue . sur une surface quelconque s séparant complètement E, de E;.

Essavons donc d'exprimer, sous forme d’intégrale de surface,

es I OF [WW OO D (12) À = UE ( —— dpi + Da ) de dy ds.

Nous pourrons le faire au moyen du théorème TIL, si nous pouvons déterminer X, Y et Z de façon que

JF [NY n 2 n O2WN\ OX JY OZ oz \ozt op ot] 0x D 0° Prenons ces termes séparément :

Of AW r à /owy\t 0x Ùxr? 20r %) of 0 0 (E —.) 0 NY (4) (& 5) 1 0 (S) = Te S— TS »

dx dt dy\or dy) dy roy dy \or op