PARTIE, CHAP. V. — ACTION MÉCANIQUE, ETC

De même

dx 03? T 03

Si donc nous posons

(e1! à 4) 03 | 0x 0 ( dŒ Œ À dy = — AT Py: — FTP:

of 0 dE dr = 4TP:x = ITPxz a” ow ., dx dy = 4T Pxy = ATPyxs on aura

(15) a = ff [CRE + De + LE) dr dy as

l'intégration s'étendant à tout l’espace intérieur à s. Transformant cette intégrale de volume par le théorème II, on a

(16) À — ff lPzxx + MPyx- NP:r) ds,

où ds est un élément pris sur une surface fermée quelconque. comprenant la totalité de E, et ne renfermant rien de E,, et où /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale menée à $ vers l'extérieur.

Pour les composantes suivant y et 3 de la force agissant sur E,, on a de même |

(17) B — [f Pzy+ mp; np:,)ds,

Si en réalité le système E, exerce sur E, une action directe à distance, sans intervention du milieu, nous devrons regarder les quantités Pzrz, --. Comme de simples abréviations pour certaines e\pressions symboliques, sans v attacher aucun sens physique.

Mais si nous admettons que les actions mutuelles se transmettent entre E, et E, au moyen d’une tension du milieu qui les sépare, les équations (16), (17), (18) donnent les composantes de la force résultante, due à l’action sur l'extérieur de la surface s, d’une tension dont les six composantes sont p,,,..., et nous devons, par suite, considérer Prx, --. Comme Îles composantes d’une tension existant en réalité dans le milieu.

106. Pour nous faire une idée plus claire de la nature de cette tension, supposons que l’on modifie la forme d’une partie de la surface s, de facon que l'élément ds devienne une partie d’une surface équipotentielle. Cette modification sera légitime, pourvu que nous ne laissions en dehors aucune partie de E, et que nous n’enfermions aucune partie de E..

Soit y une normale menée à ds vers le dehors.

. dw ... . , . .

Soit R = — nn l'intensité de la force électromotrice dans la direclion de v; alors w of 0

94 = —R£/, — == -—Rm, — — —Rn,

0x dy 03 et les six composantes de la tension sont

I 4 Qi L.] .… 1 Prx — = R°(E — mm: - n°), Pr: = 7 Rmn,

Pry — == R?(m— n° — ), pir = —- R? nf,

I 2 ; , I - P:: : re R?(7° — P — mm"). Pry = 7e im:

si &, D, c sont les composantes de la force agissant sur ds rapportée à l'unité de surface

Œ — ÜPrx À MPxy -+ nPzx:z — 8 = R? l,

Donc la force agissant entre la partie du milieu extérieure à ds et Ja partie du milieu intérieure à ds est normale à l'élément et dirigée vers

168 IC PARTIE, CHAP. V. — ACTION MÉCANIQUE, ETC. le dehors, c'est-à-dire que c'est une tension semblable à celle

. , I e corde, dont la valeur, par unité de surface, est -— R°.

Supposons maintenant que l'élément ds soit perpendiculan surfaces équipotentielles qui le rencontrent; dans ce cas,

1% 0. 0 (19) HT n dÿ TR TO

d'où

87 (/Pazrx + MPry— NPxz)

Go) |, En CANON EC Ce == (Cr) w.) de TAN op or

"je ju” multipliant (19) par 2 et le retranchant de (20), nous trouvt

"/oWw\? (11) RE oW \1 (21) BR(ÜPprx- Mpry— np) =—1[(T) T } + (55) |

Les composantes de la tension sur ds, rapportée à l'unité de st sont donc

For — 2 a = R ) D — - jm R?, C7 — gr 2 R?,

Donc, si l'élément ds est à angle droit sur une surface équipoter la force qui agit sur lui est normale à la surface, et sa valeur nume DER ;

par unité de surface, est la mème que dans le premier cas; mais rection de la force est différente, car c'est une pression au lieu tension.

Nous avons ainsi délerminé complètement la nature de la forc | Ce M re sant en un point donné d& milieu.

La direction de Fintensité électromotrice en ce point est 1 principal de tension, et la force, dans cette direction, est une t dont la valeur numérique est

re ge ke,

R étant l'intensité électromotrice. Toute direction perpendiculaire à la précédente est aussi 1

principal de tension, et la force le long de cet axe est une pression dont la valeur numérique est également p.

La tension ainsi définie n’est pas du type le plus général, puisqu'elle a deux de ses tensions principales égales entre elles, et la troisième égale et de signe contraire.

Ces conditions réduisent de six à trois le nombre des variables indépendantes qui définissent la tension; et, par suite, cette tension est entièrement définie par les trois composantes de l'intensité électromotrice

7 dy uz Les trois relations entre les six composantes de la tension sont

P;: =— (Prx < Pyr)(Pzz + Pxx)) (23) PÈ, — (Pyp + P::)(Pzz-" Pyyh PE, — (Pz: — Drx) (Pry jar es P2z3:).

107. Examinons maintenant si les résultats obtenus doivent être modifiés dans le cas où, une quantité finie d'électricité étant rassemblée sur une surface finie, la densité de volume devient infinie sur cette surface.

Dans ce cas, nous avons montré ($ 78) que les composantes de l'intensité électromotrice sont discontinues sur la surface. Les composantes de la tension seront donc aussi discontinues sur la surface.

Soient

{, m, n les cosinus directeurs de la normale à ds;

P, Q, R les composantes de l'intensité électromotrice du côté de la surface où est menée la normale;

P', Q', R' leurs valeurs de l’autre côté de la surface.

D'après le $ 78a, si o est la densité superficielle,

| P — P' = 4734, (24) . Q— Q'—- iron, R--R'=— {7ron.

Soit a la composante suivant x de la force qui agit sur l'unité d'aire de la surface, et qui est due à la tension du milieu des deux côtés de