V-=0,8 « p, d'où
P étant un nombre entier positif, ce qui donne, en commencant à p = 2 (car la demi-hauteur du cadre est d'un peu plus de o",06) et allant jusqu’à p — 13, la série suivante des rayons :
Pr... 2 3 4 9 6 y Passsssessesseses 6,29 4,1 3,1) 2,90 2,08 1,70 Pr... s) 9 10 11 12 13 Passnseresesesese 1,90 1,39 1,29 1,14 1,04 0,90
On joint par un trait continu les points d'intersection, tels que V,+V, - const. On doublerait le nombre des points (ce qui est utile dans plusieurs régions),
cn intercalant une ligne dans chaque système, c’est-à-dire en adoptant pour la raison de la progression arithmétique de V, ct de V, une valcur moitié moindre.
(Nous engageons le lecteur à exécuter cette épure, qui est la plus simple de toute la série, et cependant l'une des plus instructives.)
Graduation des lignes équipotentielles. — On conclura aisément de cette construction le nombre caractéristique de chaque ligne équipotentielle, à une constante près V,, car cetle constante reste indéterminée.
Pour simplifier, nous la supposerons nulle, ce qui revient à donner la caractéristique zéro à la ligne équipotentielle qui passe par le point double; elle avait été numérotée 20 précédemment.
La différence constante V,,, —V, étant égale à 0,8, on calculera aisément la Table suivante, qui donne la valeur du potentiel V sur chaque ligne numérotée sur la figure, de o à 20. L'unité de potentiel est la mème que l'unité de travail :
n \ | ni. V. nn. V.
CORRE :6,0 rss... 8,8 | :18............. 1,6 Dossocesccseoss 15,2 LUE 8.0 IDeessessse.se 0,8 Désrsseresseusee 14,1 Less cuussusese 2 DO. 0 SRE 13,0 CEE 6,4 Docs oosrer.es -—0,8 iii... 12,8 13............... 3,0 QDussssessresee —1,6 Disessessererses 12,0 14............... 4,8 23,........... —2, H............... 11,2 1e... 4,0 | 24e cu... —3,2 mosessesesssssse 10,4 16............... 8,7 |
SE 90 PTosssssssesss... 2,1
Grandeur de la force en un point du champ. — Pour compléter cette construction, il n’est peut être pas inutile de rappeler que ce diagramme suffit à calculer la grandeur de la forec en un point par la formule
(votr p. 15), dV étant la variation de potentiel entre deux surfaces équipotentielles dont dy est la distance comptée sur une normale commune. Bien que cette relalion ne convicnne rigoureusement qu'à des surfaces infiniment voisines, on peut l'appliquer au cas où les surfaces tracées graphiquement sont seulement trés voisines : l'erreur résultant de ce fait ne dépasse pas celle que l'incertitude du tracé “raphique laisse exister.
Considérons, en particulicr, les deux lignes numérotées © el 1 : la différence dV =0,8 et leur intervalle de - 0,5 sensiblement, d'où a 1,0.
Ce nombre est cxprimé en unité de force; elle à été adoptée pour calculer V qui est un travail; c’est en même temps l'unité de force qui a servi à définir A ou les 10 unités d'électricité dont le point est chargé.
On voit que cette unité est indéterminée et que là figure en cst indépendante. Si l'on a adopté le gramme-force et le centimètre pour définir l'unité électrostatique, l'unité est le gramme-force; si l'on à adopté le système C.G.S., la force calculée ci-dessus cest c\primée en drnes.
Cas où le paramètre des surfaces équipotenticelles crottrait par degres vgauzxz à l'unité. -- Jusqu'ici nous avons considéré la PL. JII en elle-même, avec la
NOTE 1, RELATIVE A LA CONSTRUCTION DE LA PLANCHE Ill. 203
seule indication numérique qu'elle comporte, À = 10. Comme aucune graduation n'indique les valeurs du paramètre V des surfaces équipotentielles, nous en avons cffectué la détermination indépendamment de toute hypothèse arbitraire autre que Île choix du centimètre pour l'unité de longueur.
Il parait résnlter des premières lignes du $ 123 que l’anteur, passant sous silence la question de l'unité de longueur, a adopté l'unité pour variation du paramètre V, en passant d’unc surface équipotenticile à une autre. On aurait donc
Vus —— \, —{.
Comme on ne peut pas se donner à la fois l'unité de potentiel, l’unité d'électricité et l’unité de longueur, si nous adoptons la condition ci-dessus V,,,—V,—=1,il
nous faut changer l'unité de longueur ; soit & la grandeur de cette unité exprimée en centimètres, chaque mesure z de longucur cxprimée primitivement en centimètres
scra représentée par 2° suivant la nouvelle unité; le potentiel V — z devien-
Au , . . , , . …., dra T° est-à-dire sera multiplié par u. La variation V,,, — V,, qui était égale
à 0,8, deviendra 0,8 > u 1, d'où
L'unité de longueur doit donc ètre de 1°,25 pour que le dessin figure avec A : 10 des surfaces équipotentielles dont le paramètre varic d’une unité.
Dans ce cas, ce sont les numéros d'ordre des courbes qui représentent Îles vuleurs des paramètres à une constante près V,.
V—v . V—\! | 1 La constante à = ———., devient & —— = 1,25 X 55 — 2,50.
Cette unité de longueur &w ::1,25 parait au premier abord singulière; mais clle est si rapprochée de la valeur d’un demi-pouce anglais + 2,52 — 1°,26, qu'on est fondé à penser que le dessin original a été construit en prenant Île demi-pouce anglais comme unité. Le lecteur exprimera aisément les données adoptées dans cette hypothèse; les résultats sont simples, parce que le cinquième du pouce anglais équivaut sensiblement au demi-centimètre.
Lignes de force. — I reste à examiner brièvement comment les lignes de force ont été tracées; on a suivi la règle du $ 123, en joignant les points d’intersection des lignes de force rectilignes divergeant du point électrisé À et les lignes de force parallèles du champ uniforme, de telle manière que, sur chaque courbe, la somme des indices caractéristiques soil constante (voir la Note II, à la suite de celle-ci).
Il est certain d’abord que les lignes de force résultantes sont, au point A, tangentes aux lignes de force de ce point. La PL. III bis montre qu'il y a neuf courbes qui se croisent en ce point, ce qui fait dix lignes de force, en comptant l'axe de révolution, conformément à la règle donnée (p. 196) «de manière que la charge d'un centre soit indiquée par le nombre de lignes qui rayonnent de ce centre ». On a donc employé le systéme de dix lignes de force rectilignes, représenté deux fois /ig. 6, partie gauche.
Les angles 8 que ces dix droites font avec l'axe de figure satisfont, comme on l'a vu, à l'équation
1 » D 6 are cos (1 — —)?
2 , , , . , 1. , — étant égal à unc série de nombres en progression arithmétique, telle que lare
gument du cosinus passe de — 1 à --1; : prend donc dix valeurs équidistantes, depuis zéro (qui sert d'origine) jusqu'à PL d'où
On en conclut la Table suivante :
,. ww,
uw
Ce sont, en effet, les angles qu'on peut mesurer sur la figure après avoir tracé de sentiment les tangentes aux lignes de force issues du point A.
Quant aux lignes de force du champ uniforme, on peut les définir en considérant ce champ comme la limite du champ électrique d'un point électrisé qui s'éloigne jusqu’à l'infini, et dont la charge croit de manière que laction sur Funité d'électricité conserve la valeur choisie 2.
Si l’on appelle g la charge du point électrisé et x la distance à un point fixe, on aura
. ’ lim - 2, Tr
ou constante caractéristique du champ.
Les surfaces coniques de révolution qui, dans le cas du point à distance finie, découpent l'espace en régions dont l'induction est représentée par 47(1, 2, 3, ...), sc changent en cylindres parallèles à la direction de la force correspondant aussi à 57(1,2,3,...,n).
La mesure de cette induction divisée par 47 étant (123)
tr —cosh)
(voir la Note IT qui suit}, g étant la charge du point, devra ètre égale à 5,2, 3....,n; on écrira
L , ee Th 9 3 Le ( — cos6) 7 73% sin? — D LE
. € . 6 9 , Passant à la limite 2 =aetrsin-:-£, p étant le rayon de la calotte sphé-
rique devenuc plane,
d’où
NOTE !, RELATIVE À LA CONSTRUCTION DE LA PLANCHE Ill, 209
Ici x- :1°,60; on aura donc, pour les distances à l'axe des lignes de force sucecs- SIVCS,
d'où l'on déduit à Table suivante :
5, © 1OR, 5, 3,24 On “474 6, »,74 Pu -: 3.87. Djo = 00, Es — 2,74 03 48, On 2,25, 0, 10, Da © 447 Dia © 948.
La construction par points des lignes de force consiste, suivant la règle donnéc (P- 195), à joindre par un trail continu les points pour lesquels la somme algébrique des indices de 3 et de 2 est constante,
Graduation des lignes de force. — Cette somme constante représente, comme on le verra démontré dans la Note IT, la mesure de l'induction à travers la surface de révolution dont les lignes sont les méridicnnes.
I y a, au premier abord, indétermination dans le signe relatif à donner aux indices de 0 et de 5. Mais l'indétermination se lève aisément par la considération du point neutre. En effet, si l’on considère les lignes de force du point À supposé chargé d'électricité positive, on doit les numéroter dans le sens positif 6,,6,,...,8,, à partir de la vertirale du point A.
Le champ uniforme peut ètre considéré comme la limite du champ d'un poiut électrisé, qui s'éloigne vers l'infini sur la verticale du côté du bas de la figure. Le point neutre étant du côté du haut, le point infiniment éloigné doit ètre considéré comme chargé négativement, puisque les forces issucs des deux points s'annulent, quoique dirigées dans le mème sens; d'où l'on conclut que le numérotage des lignes de force, dans le mème sens que ci-dessus, doit correspondre à des indices négatifs 5, 0. Pris...
Le lecteur trouvera aisément que la ligne de force ponctuée qui passe par le point neutre formé par les points 0,9,, 8,p., ..., doit avoir l'indice zéro; audessus les lignes de force ont les indices négatifs — 1, — 2, — 3,...; au-dessous les indices positifs —#, 9, 4, 4, ..., 09.
Ces dernières sont issues du point À, et sont tangentes aux lignes de force rectilignes de ce point.
D'autre part, les parallèles 5 ,, 0... ... sont les asymptotes de ces lignes.
Toutes les lignes de force sont indiquees PT. IT bis (partie de gauche) par les lettres .., du, ss Wu, M cc We
Équations des deux systèmes de lignes. — Les lignes équipotenticlles de la figure ont évidemment pour équation
VV ac + —: Const. ;
les lignes de force cn sont les trajectoires orthogonales : de la condition dV = 0, qui est une équation différentielle des lignes équipotenticlles, on tire, en changeant dx en dy et dy cu dx, l'équation différentielle des lignes de force
»—ady - A(z'+):) 1(rdy -J dr),
- TZ qu'on intègre en prenant pour variables y el « =;
à o::27 dy +AG--u!) 1 du.
On cn tire l'équation en termes finis
dant la discussion n'offre aucune difficulté. Nous nous bornerons à remarquer que l'angle 8, sous lequel la courbe coupe l'axe des x à l’origine, cst donné par
A cos — C,
expression à laquelle se réduit l'équation ci-dessus lorsqu'on y fait r — o et y =o.
Remarque. — Cette équation peut s’obtenir directement d’après la construction générale ®, -+ D, — const., qui se traduit, pour deux points de charge e ct e', par la condition
e(i1— cos8) -— e’(1 — cos8") — const.
Dans le cas de la figure e :- À, e’ est de signe contraire et s'éloigne jusqu’à l’infini; la vraic valeur de e’(1 — cos6) s’obtiendra, comme ci-dessus, en écrivant .., , . e' . ,Ô 3 lime'(1 — cos0") -= lim — .r'2 sin? - — — a T., I 2 2
y étant la limite de x sin.
Il vient alors, cn substituant la valeur de cosô — + __, vai + y!
L + A TVR X— = const., | T+y 2
qui reproduit le résultat ci-dessus.
CT
NOTE Il,
Relative au tracé des lignes de force dans le cas où le champ électrique est symétrique autour d'un axe de révolution;
Pan MM. A. CORNU er À. POTIER.
Le lecteur peut sc demander d’abord dans quel but l’auteur donne, dans le cas présent, une construction géométrique spéciale des lignes de force.
En effet, les surfaces équipotentielles correspondant à des variations égales de potentiel donnent unc représentation complète du champ magnétique, puisque la force est en chaque point normale et en raison inverse de leur espacement. Le tracé d'un certain nombre de trajectoires orthogonales, mème régulièrement distribuées, n’ajoute donc rien à la connaissance du champ.
On peut dire toutefois que, si le tracé d’un certain nombre de lignes de force n'est pas nécessaire pour caractériser les propriétés du champ, ces lignes orthoxonales ont l'avantage d'en achever en quelque sorte la peinture en montrant une série de trajectoires que suivrait une molécule électrique supposée sans inertie sous l'influence de la force existant en chaque point du champ.
H est alors naturel de choisir une Toi pour la succession de ces trajectoires, afin de les distribuer d'une manière régulière sur la surface du réseau.
La loi de cette succession étant arbitraire, on pourrait la définir par la condition d'offrir à l'œil une répartition simple ou élégante dans une région donnée du champ. En voiri deux exemples dans le cas de la PL. ZIZ étudiée ci-dessus :
1° On pourrait demander que les lignes de force émanées du point À fussent également inclinées les unes sur les autres à leur point de croisement.
Ce mode de distribution aurait avantage de bien peindre l’ensemble des trajectoires d’une molécule électrique aboutissant au point À, mais elle aurait l'inconvénient de nc donner, par le tracé direct, aucune ligne de force au delà de la courbe ponctuée, qui passe par le point double : elle omettrait toutes les trajectoires des molécules électriques qui, bien qu’infléchies par la présence du point électrisé À, ne passcraient pas par ce point (!).
2° On pourrait imposer la condition que les asymptotes des lignes de force soient équidistantes. Dans le mode de distribution, le réseau représentatif du champ, à partir d’une certaine distance du point A, sc réduirait à un système de droites équidistantes orthogonales, car les asymptotes des lignes équipoten-
(‘) La construction, déduite de l’équation donnée p. 206, donnerait toutefois, pour des valeurs convenables de la constante C', les courbes situées au delà du point d’équilibre.
ticiles et des lignes de force sc réduiraient aux lignes correspondantes d’un champ uniforme qui sont des droites rectangulaires. On aurait ainsi une image assez simple de la déformation des lignes de force d’un champ uniforme causée par la présence d’un point électrisé.
On voit par ces deux cxemples combien on pourrait varier la distribution des lignes de force sans cesser d'offrir une interprétation intéressante des lois arbitraires dont on aurait fait choix.
Loi de distribution des lignes de force. — La loi de distribution choisie par Maxwell n'a pas seulement pour but de déterminer un réseau facilitant l’intellisence intuitive de certaines particularités du champ : elle offre un intérêt beaucoup plus grand, qui ne peut ètre bien compris que si l'on est familiarisé avec le sens que Maxwell attribue au mot induction (75). On va essayer de la définir surtout au point de vue du lecteur moins accoutumé au langage de Faraday qu’à celui de Coulomb; comme cette définition est l'une des notions les plus importantes de l'Ouvrage, on nc saurait trop la préciser pour pouvoir l'appliquer ensuite aux diverses branches où nous la verrons reparaltre.
Le point de départ sera pour nous Île suivant.
Étant donné un point À chargé d'une masse électrique e, l'intensité R, c'està-dire la force que ce point exerce en un point de l’espace quelconque sur l'unité d'électricité, est, d'après la loi de Coulomb,
e R = Th
Cette notion de la force due à un point électrisé, en un point de l'espace, est. indépendante de la question de savoir s’il cxiste réellement ou non en ce point l'unité d'électricité.
Imaginons maintenant un élément de surface où dS entre d’une manière quelconque ; calculons l’action du point À sur cet élément comme s’il existait sur cet élément autant d'unités d'électricité que d'unités de surface; on aura
dS x R eds .
Fr
La composante normale à l'élément dS
R cose dS :
e dS cos e TT = e dv,
ds co
se |, cur on reconnaît dans 3 l'expression dw ($ 76) de la surface de la sphère
de rayon 1 concentrique au point À, comprise dans Île cône aÿant pour base l'élément dS : c’est ce qu’on nomme souvent angle solide sous-tendu.
On remarquera l’importance de l'angle solide sous-tendu par le point agissant, puisque la composante normale sur l'élément de surface ayant l'unité pour densité électrique ne dépend ni des dimensions de l'élément superficiel, ni de son inclinaison, mais seulement de la charge du point électrisé ct de l'angle sous lequel il voit cet élément.
C'est cette expression R cose dS que Maxwell prend d’une manière abstraite comme définition de l'induction à travers un élément de surface dS. Il y aurait peut-être à critiquer le choix de ce mot, qui est employé par les physiciens dans
un autre sens, ainsi qu'on l’a fait remarquer (p. 91) : le sens ordinaire est purement qualitatif; ainsi on dit les phénomènes d'induction, la charge par induction, ete. Maxwell donne à ce mot un sens quantitatif en lui donnant pour défini:ion l'expression R cose dS.
Les critiques qu'on pourrait adresser au choix de ce mot s'effacent à mesure que l’on sc familiarise avec les conséquences de cette définition et qu’on l'applique au calcul du phénomène. On reconnait bientôt que cette définition cst destinée à préciser l’idée vaguc qu'on se fait de l’action à distance des corps électrisés sur la surface d'un conducteur et qu'elle pourra permettre de calculer, par exemple, la répartition de l'électricité induite sur cette surface, etc. |
Dans un autre ordre d'idées, l’angle solide sous-tendu par une surface mesure la portion du rayonnement lumineux, le flux calorifique qui émanc de la source lumineuse ou calorifique d'intensité un : ici ce /?ux, d'une nature particulière, est ce que Maxwell appelle l'irduction.
De mème que les rayonnements lumineux ou calorifiques s'ajoutent, de mème aussi s'ajoutent les inductions dues à deux ou plusicurs masses électriques. En cflet, les composantes normales R cose se composent par addition algébrique, de sorte que la valcur de l'induction due à plusieurs masses électriques e, e”, e”,... aura pour valeur
(Rcose : R'coses : R'cusz” 1...) dS .edw -e’dw'-1-e”"de” ...,
c'est-à-dire la somme des produits de chaque masse électrique par l'angle sous lequel de chacun des points on voit l'élément de surface ds.
On aura donc, cn appelant maintenant R l'intensité de la résultante de toutes les actions, c'est-à-dire l'intensité du champ électrique au point où sc trouve l’élément de surface GS ct € l'angle que fait R avec la normale mème du côté positif de la surface, l'expression qui mesure l'induction
IR cose dS — Xe du.
le signe Y s'appliquant à toutes les masses électriques du champ. Si l'on fait la somme des inductions, relativement à tous les éléments 4S d'une portion finie de surface, l'induction totale est donnée par l'intégrale
ff KR coss GS 2 Y f fav
qui est égale, comme on le voit, à la somme des produits de chaque masse élcetrique par l'angle sous lequel elle voit cette portion de surface.
Si la surface est fermée, chaque angle solide a évidemment pour mesure 47, surface de Ta sphère de rayon égale à l'unité. On a alors pour valeur de linduc-
tion
théoréme fondamental de l'électrostatique {$ 36).
Construction par points des lignes de force. — Nous pouvons maintenant revenir au point de départ el comprendre l'importance de la loi de répartition des lignes de force que l'auteur a choisie dans ses diagrammes, ainsi que lc mode de construction qu'il en donne.
La condition adoptée consiste à découper sur toutes les surfaces équipotentielles
Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 1
des aires sur lesquelles l'intégrale de surface [fr cose dS, c'est-à-dire la va- . Le
leur de l'induction croît comme la série des nombres entiers.
Si les surfaces équipotentielles étaient quelconques, cette condition pourrait n'avoir aucun rapport simple avec les lignes de force; mais, dans Île cas des diagrammes où les surfaces équipotentielles sont de révolution, si l'on convient que les aires découpées sont limitées par des cercles ayant pour axes l'axe de révolution, on va démontrer que le lieu de tous ces cercles est une surface de révolution ayant unc ligne de force pour méridienne.
D'où il résultera que la construction d'une série de cercles, à travers lesquels l'induction cest la même, équivaut à la construction d'unc série de points apparicnant à une mème ligne de force.
En effet, la surface équipotentielle étant de révolution, comme dans Île cas des diagrammes où les masses électriques e..e’, e” sont situées sur une mème droite, chaque ligne de force est nécessairement dans un plan passant par l'axe.
Si l'on se reporte à la définition du tube d'induction (surface licu des lignes de force qui passent par le périmètre d'une courbe fermée), on sait que l'induction à travers une section quelconque de ce tube est la mème.
Si donc on prend comme base du tube d'induction un cercle concentrique à l'axe de figure du champ, les lignes de force formeront nécessairement, par raison de symétrie, une surface de révolution. À travers toute section normale à l'axe, c’est-à-dire à travers toutes les sections circulaires du tube, l'ëncduction sera la mème qu'à travers Île cercle de base.
Donc, inversement, le licu de tous les cercles d’égale induction est une surface de révolution ayant pour méridienne une ligne de force.
La valeur de l'induction, étant égale à la somme des inductions relatives à chaque point, scra égale à la somme des produits de la masse électrique du point par l’angle sous lequel de ce point on voit le cercle,
Examinons l'expression d'un de ces produits : si 9 est le demi-angle au sommet de ce cône de révolution, on aura, pour l'angle solide,
,2T , f d'? f d5 sin0 -:27(1— cosf) “0 0 et par conséquent, pour l'induction, »7e(r cosf).
En faisant 8 -: 7 on retrouve hien 47e, résultat donné plus haut.
Pour chaque masse électrique, on aura une expression scinblable : écrivant que la somme des inductions est constante, on aura
2re(i— cos)) -17e"(r — cosf') -:- ... —C.
Cette relation est l'équation des courbes méridiennes, c'est-à-dire des lignes de force, en coordonnées multipolaires,
La règle du $ 123, pour la construction des lignes de force, dans le cas de deux masses, se comprend ais‘ment. On trace autour de chaque point une série de droites inclinées d’angles 9,,6,,9,. ..., 0:,092,03,...:les points d'intersection, tels que la somme des inductions soit constante, sont silués sur une mème ligne de force. Pour reconnaître facilement les couples de droites à associer, l’auteur caractérise chacune de ces droites par un nombre , qu'il définit en posant
2re(1— cos) - 47,
nombre nécessairement compris entre zéro cl e.
C'est le quotient par 47 de l'induction de la masse e dans le cône d'ouverture 26.
Or 4x est l'induction exercée par l'unité d'électricité à travers une sphère entière; donc est l'induction de la masse e exprimée cn fonction de celle que produit, à travers unc sphère, l'unité d'électricité.
La condition à laquelle doivent satisfaire ces couples de droites ,, d,, ..., D. P2,..., pour que l'induction à travers les cercles communs qu’elles définissent. soit constante, est donc que
D, -:- db; — const. — \!.
Cette constante W est la caractéristique de la ligne de force, licu de tous ces points : multiplie par 47, elle donne l'induction à travers les cercles qu'ils engendrent.
L'induction à travers une zonc limitée par deux cercles #°, et W, sera égale à 47 CP — 4), W, ct , étant les caractéristiques des lignes de force qui passent par les points générateurs de ces cercles.
Il est naturel de tracer les lignes de force qui limitent des zones d’égale indurtion : les caractéristiques de ces lignes de force devront donc varier en progression arithmétique. Pour construire ces courbes commodément, il convient de tracer des droites 9, ..., 0"... (fig. 6), pour lesquelles les valeurs et "soient clles-mèmes en progression arithmétique. La raison commune de ces progressions est arbitraire; mais, V ne pouvant pas dépasser la somme arithmétique e + e' des valeurs arithmétiques de e et de e’, on choisira cette raison de manière à avoir un nombre suffisant de courbes VW,
Maxwell a pu, dans les diagrammes précédents, se contenter d'unc raison égale à 1, parce qu'il a donné aux charges des valeurs assez considérables.
Dans ce cas, en chaque masse, vient aboutir un nombre des lignes de farce égal au nombre d'unités qui composent cette masse (').
Proprieté du faisceau de lignes de force ainsi défini. — Cet ensemble de conventions consistant à caractériser chaque ligne de force par le paramètre et à tracer les lignes correspondant à des variations de par degrés égaux, ajoute aux lignes de force une notion quantitative qui n'est pas dans leur définition. NH en résulte que Île faisceau des lignes de force, ainsi construit, donne à lui seul la répartition de Fintensité dans le champ électrisé comme le système des surfaces équipotentielles, c'est-à-dire qu'il donne aussi bien la grandeur que la direction de la force.
{1 Ces droites sont inclinées sur l'axe de révolution d'angles 0,, 0,.9,,..., 9, (r étant Île dernier terme de la progression arithmétique et égal à e) donnés par la formule
Ccii— COS f,) ‘73 D.
dans laquelle on donne à ®, les valours r, 2, 3, ....
Dans la note I on à donné la série des angles N pour ñ - 10.
Cette regle ne s'applique évidemment que dans le cas où les deux masses sont représentées toutes deux par des nombres entiers : supposons le cas le plus complexe qui puisse se présenter dans l'application : les nombres ee’ ne sont pas entiers et mème sont inférieurs à l'unité; la régle du $ 193 serait en défaut. Si, dans ce cas, on veut avoir une représentation satisfaisante des lignes de force du champ et où s’imposera, par exemplo, de tracer N lignes de force UN = 15 ou 20),il suflira évidemment de prendre pour la raison commune des progressions b, D’ la somme des valeurs arithmétiques de c et de & divisés par N.
212 Ie PARTIE, CAP. VIT. — FORME DES SURFACES, ETC
En effet, AA’ étant l'axe de révolution (/ig. 1), soient MN ct M'N' deux éléments de lignes de force infiniment voisines Y° et VU + GW, l'induction à travers
Fig. 1.
rf ———. 3 dt / , | dv, TA — ji. / YHdv ÊN er / | Fa AS V+dY
la couronne de largeur MM = «dz et de rayon MP = 37, sur la surface équipotenticlle MM’, aura pour expression
R27rr dr. 4x dW, d'où l’on conclut a d\w
Ro dx
Si l’on tracc les lignes de force correspondant à des dV° égaux, l'intensité R, en chaque point du champ, scra en raison inverse du produit de la distance d= de
deux courbes consécutives par la demi-distance ns à l'axe de révolution.
Cette expression de l'intensité est analogue à celle qui résulte de l'emploi des surfaces équipotentielles, mais elle est moins simple, à cause du facteur F
Dans le cas des surfaces équipotenticlles, en effet, on a
dv R = — dy ?
où dv est la distance M de deux surfaces équipotentielles NN’, MM", correspondant à V et V + dV; si l’on trace les méridiennes équipotentielles correspondant à des d\ égaux, l'intensité R est simplement en raison inverse de leur écartement dv.
Vérification du trace des lignes de force. — Si l'on égale les deux expressions de R, il en résulte une condition nécessaire que doit remplir chaque maille d'un réseau formé par les quatre courbes V, V + dV, Wet W- dY, quels que soient dV et dW, à savoir la relation
2 WT d\ dv y dY jp de dd "dx >
Si le tracé graphique présente des faisceaux de courbes assez serrées pour qu'on puisse traiter les côtés des rectangles curvilignes comme les infiniment petits dy et dr, cette équation donnera unc vérification du tracé.
Cette vérification scra rendue plus facile si l’on adopte, pour la raison de la progression des V, la mêèmc valeur numérique que pour celle des V", ce qui don-
nera dV = dV, ct par suite
dv +.
c’est précisément la vérification indiquée par Maxwell : on remarquera que l'unité de longucur figure explicitement dans l’énuncé de la p. 197. parce que l'équation n'est plus homogène.
Remarque. — La loi de répartition des lignes de force, correspondant à des variations de d par degrés égaux à l'unité, correspond, comme on le verra plus loin, à un problème réel de distribution électrique.
Si l’on sc figure un conducteur creux, enveloppant Îles masses électriques et limité intéricurement par une surface équipotcntielle fermée, on sait que la charge totale de la surface interne est égale à la somme algébrique des charges des points intérieurs : les zones découpées sur cette surface par les surfaces de révolution, dont les méridicnnes sont les lignes de force numérotées D, = r, D, = 2, ..., ont des charges totales égales à 1, 2, 3, ... unité d'électricité.
Équation des lignes de force. — La construction des lignes de force, donnée ci-dessus, cst déduite de la considération des tubes d'’induction, et-c’est ce qui en fait l'originalité; mais le lecteur peut demander, comme vérification, de retrouver directement la construction de ces courbes par la délinition ordinaire, c’est-à-dire par la propriété d'être, en chaque point, tangente à la direction de la force résultante.
Soient (/ig. 2) \, \'.... les positions sur la droite AX des masses e,e',...; Nle
Fig. 2.
» Le PA
point du champ où la résultante R est dirigée suivant NN’. Les forces sont dirigées suivant NA, NA",... ct ont pour valeur
e e t EF — --,; | °.) ( ) Jr? À r. étant les distances du point N aux masses; 0, 0", ... étant les inclinaisons de ces directions sur AX, on aura évidemment
() rsin0 = 7" sin0": ... . NO.
Projetons les forces sur une perpendiculaire à NN’, direction de la résultante, qui fait un angle 2 avec AX, on aura évidemment une projection nulle, d'où la rclation
Fsin(z--0)--F'sinm(z —0)--...—o.
214 1'° PARTIE, CHAP. VIl. -— FORME DES SURFACES, ETC.
Or, l'angle (g — 6) dans chaque triangle infinitésimal NN°P, où NP est la perpendiculaire abaïssée sur une direction infiniment voisine 6 -- d5, se déduit de la rclation
NN\'sin(gs — 0) 7 dÿ:
substituant, il vicnt Fr d6 Er dd... — 0.
Tirant de (1) les valeurs F, E, et de (2) celles de r', r’, .... il reste. e sin6 d6 -' -e’sin6” dfÿ'-;-... — 0, rclation différentielle qui s'intègre directement et donne (3) e cos0 +- e’ cos®" + ... — C — const.
C'est l’équation des lignes de force ou des lignes orthogonales aux lignes équipotentielles
On retrouve donc bien la condition caractérisant les surfaces d’égale induction e(1 — cos6) + e'(1— cos8"}) -+... =: 2 (d + d'--...).
L'identification des constantes donne C=(e--e 7...) —2a(dp-i- + ...).
Nous laissons au lecteur le soin de vérificr :
1° Que les familles de courbes (3), (4) sont orthogonales:
2° Que chaque point chargé d'électricité est, au point de vuc géométrique, uu point singulier d'ordre e des courbes (3);
3° Que l’on a la relation ae À ax,
dr y dy?
Enfin de rechercher quelles modifications subissent ces équations lorsqu'un des
points s'éloigne à l'infini.
